今回は「微分」について解説します。「微分ってなに？」と聞かれた時にきちんと答えることができますか？
なかなか難しいですよね。
「微分」について、初めから丁寧に解説します。
微分について説明するには、少し準備が必要です。
それではみていきましょう。
関数の極限
まず極限について確認しましょう。
関数f(x)において、
xがaと異なる値をとりながら限りなくaに近づくとき、
f(x)が一定の値の値αに限りなく近づくならば
limx→af(x)=α
とかき、αをf(x)の極限値という。
極限値は、
xをある値にギリギリ近づけたとき、
f(x)がギリギリ近づく値のことです。
このとき注意は、
xをある値に近づけているだけで、
ある値にしているわけではありません。
（だから「＝」ではありません。）
あくまで近づけた時を考えています。
少しややこしいですね。
平均変化率
次に平均変化率についてです。
y=f(x)においてf(b)−f(a)b−a
を平均変化率という。
平均変化率の式をじっくり見ると、yの増加量xの増加量となっています。
aからbにおけるxの増加量に対する、yの増加量です。
これは、２点を結んだ直線の傾きのことです。
平均変化率は、２点を結んだ直線の傾き
微分係数
平均変化率のbをaに限りなく近づけたものを、微分係数と言います。
y=f(x)のx=aにおける微分係数は
1.f′(a)=limb→af(b)−f(a)b−a
または
2.f′(a)=limh→0f(a+h)−f(a)h⋯※補足
平均変化率は、２点を結んだ直線の傾きでしたね。
だから、この２点を限りなく近づけると、１点における直線の傾きに近づいていきます。
これが、接線の傾きと一致します。
微分係数f′(a)は、接線の傾きと一致する。
補足（式変形して、2個目の式を導く）
f′(a)=limb→af(b)−f(a)b−a
を変形して、2の式を導きます。
h=b−a
とすると
bをaに近づけると、hは0に近づく
よって、
f′(a)=limh→0f(a+h)−f(a)h
この2個目の式のをよく使います！
導関数
さて、先ほどの微分係数を関数と捉えます。定数aを変数xに変換して、
f′(x)=limh→0f(x+h)−f(x)h
導関数は
f′(x),y′,dydx,ddxf(x)
などと表します。
この導関数を求めることを「微分する」と言います。
導関数の式に、値を代入すると、その値における接線の傾きを求めることができます。
導関数を求めることを「微分する」と言う
導関数に、値を代入することで、接線の傾きを求めることができる
微分がなんなのか、について説明しました。微分とは前半はここまでとします。次回、例題を通じて、微分係数や導関数を求めてみたいと思います。
まとめ
- 極限は、限りなく近づけていくこと
- 平均変化率は、２点を結んだ直線の傾き
- 微分係数は平均変化率の２点を限りなく近づけたもの
- 導関数は、微分係数を関数として捉えたもの
- 導関数を求めることを「微分する」と言う
次回、微分とは（後半）解説しますので、お楽しみに！
少しでも参考になれば幸いです。
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