【微分】微分とは(前半)【極限値、微分係数、導関数】

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今回は「微分」について解説します。「微分ってなに?」と聞かれた時にきちんと答えることができますか?

なかなか難しいですよね。

「微分」について、初めから丁寧に解説します。

微分について説明するには、少し準備が必要です。

それではみていきましょう。

関数の極限

まず極限について確認しましょう。

極限値

関数\(f(x)\)において、

\(x\)が\(a\)と異なる値をとりながら限りなく\(a\)に近づくとき、

\(f(x)\)が一定の値の値\(\alpha\)に限りなく近づくならば

$$\lim_{x\to a}f(x)=\alpha$$

とかき、\(\alpha\)を\(f(x)\)の極限値という。

極限値は、

xをある値にギリギリ近づけたとき、

f(x)がギリギリ近づく値のことです。

このとき注意は、

xをある値に近づけているだけで、

ある値にしているわけではありません。

(だから「=」ではありません。)

あくまで近づけた時を考えています。

少しややこしいですね。

平均変化率

次に平均変化率についてです。

平均変化率

$$y=f(x)$$において\[\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\]

を平均変化率という。

平均変化率の式をじっくり見ると、\[\frac{yの増加量}{xの増加量}\]となっています。

aからbにおけるxの増加量に対する、yの増加量です。

これは、2点を結んだ直線の傾きのことです。

平均変化率は、2点を結んだ直線の傾き

微分係数

平均変化率のbをaに限りなく近づけたものを、微分係数と言います。

微分係数

y=f(x)のx=aにおける微分係数は

$$1.f'(a)=\lim_{b\to a}\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$

または

$$2.f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\quad\cdots※補足$$

平均変化率は、2点を結んだ直線の傾きでしたね。

だから、この2点を限りなく近づけると、1点における直線の傾きに近づいていきます。

これが、接線の傾きと一致します。

微分係数\(f'(a)\)は、接線の傾きと一致する。

補足(式変形して、2個目の式を導く)

$$f'(a)=\lim_{b\to a}\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$

を変形して、2の式を導きます。

$$h=b-a$$

とすると

bをaに近づけると、hは0に近づく

よって、

$$f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

この2個目の式のをよく使います!

導関数

さて、先ほどの微分係数を関数と捉えます。定数aを変数xに変換して、

導関数

$$f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

導関数の表し方

導関数は

$$f'(x)\quad,y’\quad,\frac{dy}{dx}\quad,\frac{d}{dx}f(x)$$

などと表します。

この導関数を求めることを「微分する」と言います。

導関数の式に、値を代入すると、その値における接線の傾きを求めることができます。

導関数を求めることを「微分する」と言う

導関数に、値を代入することで、接線の傾きを求めることができる

微分がなんなのか、について説明しました。微分とは前半はここまでとします。次回、例題を通じて、微分係数や導関数を求めてみたいと思います。

まとめ

  • 極限は、限りなく近づけていくこと
  • 平均変化率は、2点を結んだ直線の傾き
  • 微分係数は平均変化率の2点を限りなく近づけたもの
  • 導関数は、微分係数を関数として捉えたもの
  • 導関数を求めることを「微分する」と言う

次回、微分とは(後半)解説しますので、お楽しみに!

少しでも参考になれば幸いです。

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