今回は「微分」について解説します。「微分ってなに？」と聞かれた時にきちんと答えることができますか？
なかなか難しいですよね。
「微分」について、初めから丁寧に解説します。
微分について説明するには、少し準備が必要です。
それではみていきましょう。
関数の極限
まず極限について確認しましょう。
関数\(f(x)\)において、
\(x\)が\(a\)と異なる値をとりながら限りなく\(a\)に近づくとき、
\(f(x)\)が一定の値の値\(\alpha\)に限りなく近づくならば
$$\lim_{x\to a}f(x)=\alpha$$
とかき、\(\alpha\)を\(f(x)\)の極限値という。
極限値は、
xをある値にギリギリ近づけたとき、
f(x)がギリギリ近づく値のことです。
このとき注意は、
xをある値に近づけているだけで、
ある値にしているわけではありません。
（だから「＝」ではありません。）
あくまで近づけた時を考えています。
少しややこしいですね。
平均変化率
次に平均変化率についてです。
$$y=f(x)$$において\[\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\]
を平均変化率という。
平均変化率の式をじっくり見ると、\[\frac{yの増加量}{xの増加量}\]となっています。
aからbにおけるxの増加量に対する、yの増加量です。
これは、２点を結んだ直線の傾きのことです。
平均変化率は、２点を結んだ直線の傾き
微分係数
平均変化率のbをaに限りなく近づけたものを、微分係数と言います。
y=f(x)のx=aにおける微分係数は
$$1.f'(a)=\lim_{b\to a}\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$
または
$$2.f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\quad\cdots※補足$$
平均変化率は、２点を結んだ直線の傾きでしたね。
だから、この２点を限りなく近づけると、１点における直線の傾きに近づいていきます。
これが、接線の傾きと一致します。
微分係数\(f'(a)\)は、接線の傾きと一致する。
補足（式変形して、2個目の式を導く）
$$f'(a)=\lim_{b\to a}\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$
を変形して、2の式を導きます。
$$h=b-a$$
とすると
bをaに近づけると、hは0に近づく
よって、
$$f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$
この2個目の式のをよく使います！
導関数
さて、先ほどの微分係数を関数と捉えます。定数aを変数xに変換して、
$$f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$
導関数は
$$f'(x)\quad,y’\quad,\frac{dy}{dx}\quad,\frac{d}{dx}f(x)$$
などと表します。
この導関数を求めることを「微分する」と言います。
導関数の式に、値を代入すると、その値における接線の傾きを求めることができます。
導関数を求めることを「微分する」と言う
導関数に、値を代入することで、接線の傾きを求めることができる
微分がなんなのか、について説明しました。微分とは前半はここまでとします。次回、例題を通じて、微分係数や導関数を求めてみたいと思います。
まとめ
- 極限は、限りなく近づけていくこと
- 平均変化率は、２点を結んだ直線の傾き
- 微分係数は平均変化率の２点を限りなく近づけたもの
- 導関数は、微分係数を関数として捉えたもの
- 導関数を求めることを「微分する」と言う
次回、微分とは（後半）解説しますので、お楽しみに！
少しでも参考になれば幸いです。
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