三角関数の極限の最重要公式の証明を紹介します。
この公式を利用した問題演習はこの記事を参考にしてください。
三角関数の極限 最重要公式
三角関数の極限を求めるとき、以下の公式に帰着させることが多いです。
$$\lim_{x\to0}\frac{sinx}{x}=1$$
証明
それでは、証明をしていきましょう。
\(x\to0\)のときを考えているので、\(0<|x|<\frac{\pi}{2}\)としてよい。
（１）\(0<x<\frac{\pi}{2}\)のとき
単位円（半径１の円）において、中心角xの扇形OABを考える。
Bから垂線、Aにおける円の接線を引き図のように設定する。
ここで面積を考える
△OAB < 扇形OAB < △OAT より
$$\frac{1}{2}\times 1\times sinx < \frac{1}{2}\times1^2\times x < \frac{1}{2}\times 1\times tanx$$
$$sinx < x < tanx$$
各辺をsinxで割ると、sinx>0 より
$$1 < \frac{x}{sinx} < \frac{1}{cosx}$$
$$1 > \frac{sinx}{x} > cosx$$
\(\displaystyle{\lim_{x\to+0}cosx=1}\)であるから
$$\lim_{x\to+0}\frac{sinx}{x}=1$$
（２）\(-\frac{\pi}{2}<x<0\)のとき
x＝ーθとおいて
$$\lim_{x\to-0}\frac{sinx}{x}$$
$$=\lim_{\theta\to+0}\frac{sin(-\theta)}{-\theta}$$
$$=\lim_{\theta\to+0}\frac{sin\theta}{\theta}=1$$
（１）（２）より
$$\lim_{x\to0}\frac{sinx}{x}=1$$
まとめ
- 三角関数における極限の最重要公式は必ず身につける
- 証明は、単位円を考えた上で、面積を比較することによって、不等式で挟むことによって証明することができる
大切な公式の証明でした。数学は、公式ときちんと向き合うことによって、理解を深めることができます。ポイントを押さえて理解していくようにしましょう。
この記事が少しでも役に立てば幸いです。
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