【極限】最重要公式(sinx)/xの極限の証明【公式】

（１）$0<x<\frac{\pi}{2}$のとき

単位円（半径１の円）において、中心角xの扇形OABを考える。

Bから垂線、Aにおける円の接線を引き図のように設定する。

ここで面積を考える

△OAB < 扇形OAB < △OAT より

$$\frac{1}{2}\times 1\times sinx < \frac{1}{2}\times1^2\times x < \frac{1}{2}\times 1\times tanx$$

$$sinx < x < tanx$$

各辺をsinxで割ると、sinx>0 より

$$1 < \frac{x}{sinx} < \frac{1}{cosx}$$

$$1 > \frac{sinx}{x} > cosx$$

$\displaystyle{\lim_{x\to+0}cosx=1}$であるから

$$\lim_{x\to+0}\frac{sinx}{x}=1$$

（２）$-\frac{\pi}{2}<x<0$のとき

x＝ーθとおいて

$$\lim_{x\to-0}\frac{sinx}{x}$$

$$=\lim_{\theta\to+0}\frac{sin(-\theta)}{-\theta}$$

$$=\lim_{\theta\to+0}\frac{sin\theta}{\theta}=1$$