【極限】三角関数の極限〜例題を通じて解説

$\displaystyle{\lim_{x\to0}\frac{sin4x}{x}}$　を求めよ。

分母のsinの中身の（4x）と分子の（x）が異なっているので、同じになるように調整しなければ公式は使えません。分母を（４x）に変えて、帳尻合わせします。

$$\frac{sin4x}{x}=\frac{sin4x}{4x}\times4\to_{x\to0}1\times4=4$$

$\displaystyle{\lim_{x\to0}\frac{1-cosx}{x^2}}$　を求めよ。

分母分子に　$1+cosx$をかける

$\ \ \ \ \displaystyle{\frac{1-cosx}{x^2}}$

$\displaystyle{=\frac{(1-cosx)(1+cosx)}{x^2(1+cosx)}}$

$\displaystyle{=\frac{1-cos^2x}{x^2(1+cosx)}}$

$\displaystyle{=\frac{sin^2x}{x^2(1+cosx)}}$　公式の形に持ち込んで

$\displaystyle{=(\frac{sinx}{x})^2\times\frac{1}{1+cosx}\to_{x\to0}1\times\frac{1}{2}=\frac{1}{2}}$

$\displaystyle{\lim_{x\to0}\frac{sin(1-cosx)}{x^2}}$　を求めよ。

公式を使うには、分子のsinの中身が（1-cosx）なので、分母にも作る必要があります。

$\quad\quad\displaystyle{\frac{sin(1-cosx)}{x^2}}$

分母分子に（1-cosx）をかけて

$$=\frac{sin(1-cosx)\times (1-cosx)}{(1-cosx)\times x^2}$$

例題２と同じ方法で式変形する

$$=\frac{sin(1-cosx)}{1-cosx}\times\frac{(1-cosx)(1+cosx)}{x^2\times(1+cosx)}$$

$$=\frac{sin(1-cosx)}{1-cosx}\times\frac{sin^2x}{x^2\times(1+cosx)}$$

$$=\frac{sin(1-cosx)}{1-cosx}\times(\frac{sinx}{x})^2\times\frac{1}{1+cosx}$$

$$\to_{x\to0}1\times1\times\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$$