【極限】三角関数の極限〜例題を通じて解説

極限

三角関係の極限を例題を通じて理解しましょう。

今回は、三角関数の極限についてです。重要公式がありますので、確認していってください。

三角関数の極限の最重要公式

最重要公式

$$\lim_{{x}\to{0}}\frac{sinx}{x}=1$$

三角関数の極限の問題は、\(\displaystyle\frac{sin○}{○}\)(または\(\displaystyle\frac{○}{sin○}\))の形を作ることが定石です。○には同じ式が入り、○→0のとき、これらの極限値は1となります。

三角関数の極限 例題

例題1

例題1

\(\displaystyle{\lim_{x\to0}\frac{sin4x}{x}}\) を求めよ。

解説

分母のsinの中身の(4x)と分子の(x)が異なっているので、同じになるように調整しなければ公式は使えません。分母を(4x)に変えて、帳尻合わせします。

$$\frac{sin4x}{x}=\frac{sin4x}{4x}\times4\to_{x\to0}1\times4=4$$

例題2

例題2

\(\displaystyle{\lim_{x\to0}\frac{1-cosx}{x^2}}\) を求めよ。

解説

分母分子に \(1+cosx\)をかける

\(\ \ \ \ \displaystyle{\frac{1-cosx}{x^2}}\)

\(\displaystyle{=\frac{(1-cosx)(1+cosx)}{x^2(1+cosx)}}\)

\(\displaystyle{=\frac{1-cos^2x}{x^2(1+cosx)}}\)

\(\displaystyle{=\frac{sin^2x}{x^2(1+cosx)}}\) 公式の形に持ち込んで

\(\displaystyle{=(\frac{sinx}{x})^2\times\frac{1}{1+cosx}\to_{x\to0}1\times\frac{1}{2}=\frac{1}{2}}\)

これは、慣れてきたら公式として利用しても構いません。

公式

$$\lim_{x\to0}\frac{1-cosx}{x^2}=\frac{1}{2}$$ 

例題3

例題3

\(\displaystyle{\lim_{x\to0}\frac{sin(1-cosx)}{x^2}}\) を求めよ。

解説

公式を使うには、分子のsinの中身が(1-cosx)なので、分母にも作る必要があります。

\(\quad\quad\displaystyle{\frac{sin(1-cosx)}{x^2}}\)

分母分子に(1-cosx)をかけて

$$=\frac{sin(1-cosx)\times (1-cosx)}{(1-cosx)\times x^2}$$

例題2と同じ方法で式変形する

$$=\frac{sin(1-cosx)}{1-cosx}\times\frac{(1-cosx)(1+cosx)}{x^2\times(1+cosx)}$$

$$=\frac{sin(1-cosx)}{1-cosx}\times\frac{sin^2x}{x^2\times(1+cosx)}$$

$$=\frac{sin(1-cosx)}{1-cosx}\times(\frac{sinx}{x})^2\times\frac{1}{1+cosx}$$

$$\to_{x\to0}1\times1\times\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$$

補足(公式の図形的意味)

最重要公式である公式の図形的意味を説明します。

最重要公式

$$\lim_{{x}\to{0}}\frac{sinx}{x}=1$$

解説

図形的には\(y=sinx\)のグラフの\(x=0\)における接線の傾きが1であることを意味します。

$$\lim_{{x}\to{0}}\frac{sinx}{x}=\lim_{{x}\to0}\frac{sinx-sin0}{x-0}$$

と考えると、これはまさに\(y=sinx\)のグラフの\(x=0\)における微分係数の定義の式です

まとめ

  1. 最重要公式 \(\displaystyle{\lim_{x\to0}\frac{sinx}{x}=1}\) は覚える
  2. この公式を使えるように、\(\displaystyle{\frac{sin○}{○}}\)の形を作ることが定石

三角関数の極限について例題を通して学んでいきました。

重要公式をしっかりと確認し、自信を持って式変形していけるようにしましょう。

以上で終わりにします。ありがとうございました。

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