三角関係の極限を例題を通じて理解しましょう。
今回は、三角関数の極限についてです。重要公式がありますので、確認していってください。
三角関数の極限の最重要公式
$$\lim_{{x}\to{0}}\frac{sinx}{x}=1$$
三角関数の極限の問題は、\(\displaystyle\frac{sin○}{○}\)（または\(\displaystyle\frac{○}{sin○}\)）の形を作ることが定石です。○には同じ式が入り、○→０のとき、これらの極限値は１となります。
三角関数の極限 例題
例題１
\(\displaystyle{\lim_{x\to0}\frac{sin4x}{x}}\) を求めよ。
分母のsinの中身の（4x）と分子の（x）が異なっているので、同じになるように調整しなければ公式は使えません。分母を（４x）に変えて、帳尻合わせします。
$$\frac{sin4x}{x}=\frac{sin4x}{4x}\times4\to_{x\to0}1\times4=4$$
例題２
\(\displaystyle{\lim_{x\to0}\frac{1-cosx}{x^2}}\) を求めよ。
分母分子に \(1+cosx\)をかける
\(\ \ \ \ \displaystyle{\frac{1-cosx}{x^2}}\)
\(\displaystyle{=\frac{(1-cosx)(1+cosx)}{x^2(1+cosx)}}\)
\(\displaystyle{=\frac{1-cos^2x}{x^2(1+cosx)}}\)
\(\displaystyle{=\frac{sin^2x}{x^2(1+cosx)}}\) 公式の形に持ち込んで
\(\displaystyle{=(\frac{sinx}{x})^2\times\frac{1}{1+cosx}\to_{x\to0}1\times\frac{1}{2}=\frac{1}{2}}\)
これは、慣れてきたら公式として利用しても構いません。
$$\lim_{x\to0}\frac{1-cosx}{x^2}=\frac{1}{2}$$
例題３
\(\displaystyle{\lim_{x\to0}\frac{sin(1-cosx)}{x^2}}\) を求めよ。
公式を使うには、分子のsinの中身が（1-cosx）なので、分母にも作る必要があります。
\(\quad\quad\displaystyle{\frac{sin(1-cosx)}{x^2}}\)
分母分子に（1-cosx）をかけて
$$=\frac{sin(1-cosx)\times (1-cosx)}{(1-cosx)\times x^2}$$
例題２と同じ方法で式変形する
$$=\frac{sin(1-cosx)}{1-cosx}\times\frac{(1-cosx)(1+cosx)}{x^2\times(1+cosx)}$$
$$=\frac{sin(1-cosx)}{1-cosx}\times\frac{sin^2x}{x^2\times(1+cosx)}$$
$$=\frac{sin(1-cosx)}{1-cosx}\times(\frac{sinx}{x})^2\times\frac{1}{1+cosx}$$
$$\to_{x\to0}1\times1\times\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$$
補足（公式の図形的意味）
最重要公式である公式の図形的意味を説明します。
$$\lim_{{x}\to{0}}\frac{sinx}{x}=1$$
図形的には\(y=sinx\)のグラフの\(x=0\)における接線の傾きが１であることを意味します。
$$\lim_{{x}\to{0}}\frac{sinx}{x}=\lim_{{x}\to0}\frac{sinx-sin0}{x-0}$$
と考えると、これはまさに\(y=sinx\)のグラフの\(x=0\)における微分係数の定義の式です
まとめ
- 最重要公式 \(\displaystyle{\lim_{x\to0}\frac{sinx}{x}=1}\) は覚える
- この公式を使えるように、\(\displaystyle{\frac{sin○}{○}}\)の形を作ることが定石
三角関数の極限について例題を通して学んでいきました。
重要公式をしっかりと確認し、自信を持って式変形していけるようにしましょう。
以上で終わりにします。ありがとうございました。
コメント