【微分】微分とは（後半）【定義に従って微分、xの多項式の微分】

微分について、解説後編です。

前半をまだ読んでいない方はこちらの記事を参考にしてください。

【微分】微分とは（前半）【極限値、微分係数、導関数】

今回は「微分」について解説します。「微分ってなに？」と聞かれた時にきちんと答えることができますか？なかなか難しいですよね。「微分」について、初めから丁寧に解説します。微分について説明するには、少し準備が必要です。...

後半では、「定義に従った計算」「xの多項式の微分」について解説していきたいと思います。

それではいきましょう。

導関数の定義
例題（導関数の定義に従って微分）
x＾nの微分
まとめ

導関数の定義

「微分する」とは導関数を求めることでしたね。

それでは、導関数の定義から復習します。

導関数

$f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

例題（導関数の定義に従って微分）

例題１

$y=x^2$ を導関数の定義に従って微分せよ。

$y’=\lim_{h\to0}\frac{(x+h)^2-x^2}{h}$

$=\lim_{h\to0}\frac{x^2+2xh+h^2-x^2}{h}$

$=\lim_{h\to0}\frac{2xh+h^2}{h}$

$=\lim_{h\to0}(2x+h)$

$=2x$

$x^2$ を微分すると、 $2x$

続いて、もう一つ例題を見てみましょう。

例題２

$y=\sqrt x$

を導関数の定義に従って、微分せよ。 $\require{cancel}$

$y’=\lim_{h\to0}\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt x}{h}$

分母、分子に $\sqrt{x+h}+\sqrt x$ をかける

$=\lim_{h\to0}\frac{(\sqrt{x+h}-\sqrt x)(\sqrt{x+h}+\sqrt x)}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt x)}$

$=\lim_{h\to0}\frac{x+h- x}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt x)}$

$=\lim_{h\to0}\frac{\cancel{h}}{\cancel{h}(\sqrt{x+h}+\sqrt x)}$

$=\lim_{h\to0}\frac{1}{(\sqrt{x+h}+\sqrt x)}$

$=\frac{1}{2\sqrt{x}}$

$\sqrt{x}$ を微分すると、 $\displaystyle{\frac{1}{2\sqrt x}}$

他にも、sinxの導関数の定義に従った微分は、以下の記事で取り扱っています。

【微分】sinxを微分するとcosxになることを示せ。

sinxを微分すると、cosxでしょ！でも、それを証明するってどうやるの、、、という方に、定義から微分をする方法について解説します。三角関数の微分公式三角関数の微分公式

$(sinx)'=cosx$ ...

x＾nの微分

微分の定義に従って極限の計算をすれば、微分する（導関数を求める）ことができます。

しかし、毎回毎回定義に従って微分をするのは大変です。

そこで、基本的な導関数を知ることで、素早く計算することができます。

$y=x^n$ 、定数関数の導関数

1. 　 $y=x^n$ の導関数は、　 $y’=nx^{n-1}$ 　　（n=1,2,3,…）

2.　定数関数　y=Cの導関数は、　 $y’=0$

$x^{\color{blue}{5}}$ を微分すると、 $\color{blue}{5}x^4$

$x^{\color{blue}{8}}$ を微分すると、 $\color{blue}{8}x^7$

指数の数字を前に下ろして、指数を１減らせばいいわけです。

また、定数を微分すると、すべて「０」です。

証明も確認してみましょう。

1証明

１の証明

　 $y=x^n$ において

$y’=\lim_{h\to0}\frac{(x+h)^n-x^n}{h}$

２項定理より

$y’=\lim_{h\to0}\frac{\cancel{x^n}+_nC_{1}x^{n-1}h+_nC_2x^{n-2}h^2+\cdots+_nC_nh^n\cancel{-x^n}}{h}$

計算して、hをくくりだす

$y’=\lim_{h\to0}\frac{h(nx^{n-1}+_nC_2x^{n-2}h+\cdots+h^{n-1})}{h}$

約分して、極限をとると

$y’=\lim_{h\to0}\frac{\cancel{h}(nx^{n-1}+_nC_2x^{n-2}h+\cdots+h^{n-1})}{\cancel{h}}$

$y’=nx^{n-1}$

（証明終）

2証明

２の証明

　 $y=C$ において

$y’=\lim_{h\to0}\frac{C-C}{h}$

$y’=\lim_{h\to0}\frac{0}{h}$

$y’=0$

（証明終）

$x^n$ の微分、定数関数の微分は基本ですのできちんと身につけましょう。

また、導関数の以下の性質もあります。

導関数の性質

1.　 $y=kf(x)$ 　　　　　ならば、　　 $y’=kf'(x)$

2.　 $y=f(x)+g(x)$ 　　ならば、　　 $y’=f'(x)+g'(x)$

3.　 $y=kf(x)+lg(x)$ 　ならば、　　 $y’=kf'(x)+lg'(x)$

１、２、３の性質を簡単に言うと、

係数ついていてもそのまま微分できる

和の微分は、それぞれ微分してそのまま足せば良い

ということです。

これも全て定義から導くことができます。今回は、省略します。

この導関数の性質を使えば、xの多項式の微分をすることができます。

例題を見ていきましょう。

例題１

$y=4x^3+5x^2$

$y’=4\times3x^2+5\times2x^1$

$y’=12x^2+10x$

例題２

$y=-3x^2-5x+6$

$y’=-3\times2x^1-5\times1x^0+0$

$y’=-6x-5$

多項式の微分、定義から求めなくても計算できました。

今回は、ここまでとします。

まとめ

・導関数の定義に従って、極限の計算をして、微分をすることができる

・ $(x^n)’=nx^{n-1}$ 、「定数」の微分は「０」

・導関数の性質を使えば、xの多項式の微分がすぐにできる。

以上、微分についての解説（後半）でした。

微分に関しては、基本的な性質、基本的な関数の導関数など様々な重要事項があります。

また、記事にまとめたいと思います！

少しでも勉強の参考になれば幸いです。