【京都大学】a^3-b^3=65　〜整数問題の３つのアプローチ〜　【整数問題】

$$a^3-b^3=65$$

を満たす整数の組$(a,b)$を全て求めよ。（2005・京都大学）

まず左辺を因数分解する

$$a^3-b^3=65$$

$$(a-b)(a^2+ab+b^2)=65$$

したがって

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline a-b&a^2+ab+b^2 \\ \hline 1&65\\ \hline 5&13\\\hline 13&5\\\hline 65&1 \\\hline-1&-65\\\hline-5&-13\\\hline-13&-5\\\hline-65&-1\\\hline\end{array}$$

の８パターンが条件を満たす。

次に

$$a^2+ab+b^2=(a+\frac{1}{2}b)^2+\frac{3}{4}b^2>0$$

であるので、上の８パターンのうちマイナスの場合は不適となる

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline a-b&a^2+ab+b^2 \\ \hline 1&65\\ \hline 5&13\\\hline 13&5\\\hline 65&1 \\\hline\end{array}$$

次に

$$(a^2+ab+b^2)-(a-b)^2=3ab$$

であることから$(a^2+ab+b^2)-(a-b)^2$は３の倍数となる

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline a-b&a^2+ab+b^2&(a-b)^2&(a^2+ab+b^2)-(a-b)^2 \\ \hline 1&65&1&64\quad(3の倍数でない)\\ \hline 5&13&25&-12\quad(3の倍数)\\\hline 13&5&169&-164\quad(3の倍数でない)\\\hline 65&1&4225&-4224 \quad(3の倍数)\\\hline\end{array}$$

この中で３の倍数となっているのは

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline a-b&a^2+ab+b^2 \\ \hline 5&13\\\hline 65&1 \\\hline\end{array}$$

の２パターン

$$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} a-b=5\\ a^2+ab+b^2=13 \end{array} \right. \end{eqnarray}$$

を解くと

$$(a,b)=(4,-1),(1,-4)$$

$$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} a-b=65\\ a^2+ab+b^2=1 \end{array} \right. \end{eqnarray}$$

を解くと、

$$b^2+65b+1408=0$$

これは実数解を持たないのでこの場合は不適

したがって整数解は

$$(a,b)=(4,-1),(1,-4)$$