【京都大学】a^3-b^3=65　〜整数問題の３つのアプローチ〜　【整数問題】

整数

2021.11.26

整数問題って、方針を立てるのが難しいな、、、

どこから手をつけていいのか、、、

と言う人のための記事です。

今回は、京都大学の整数問題を使って「整数問題の３つのアプローチ」を確認していきたいと思います。

この記事を読むことで

「整数問題の３つのアプローチ」「京都大学の過去問を通じて実際にどのように解いていくか」

を理解することができます

それではみていきましょう。

整数問題の３つのアプローチ
問題
解説
まとめ

整数問題の３つのアプローチ

整数問題は、「しらみつぶし」に求めることもできるかもしれませんが、とても大変です。少しでも候補をしぼっていくことが大切です。

候補を絞り込むための「整数問題３つのアプローチ」を紹介します。

①　因数分解で候補をしぼる

②　不等式で候補をしぼる

③　倍数やあまりで分類して、候補をしぼる

これを利用して数ある候補から条件を満たす整数解を求めていきます。

問題

京都大学の過去問は以下の通りです。

問題

$$a^3-b^3=65$$

を満たす整数の組$(a,b)$を全て求めよ。（2005・京都大学）

この問題は、整数問題の３つのアプローチを使用して解いていくことができる問題です。

練習としては最適な問題ですので、ぜひ活用してみましょう。

解説

「３つのアプローチ」をそれぞれ使って解いていきます。

解説

まず左辺を因数分解する

$$a^3-b^3=65$$

$$(a-b)(a^2+ab+b^2)=65$$

したがって

\begin{array}{|c|c|c|} \hline a-b&a^2+ab+b^2 \\ \hline 1&65\\ \hline 5&13\\\hline 13&5\\\hline 65&1 \\\hline-1&-65\\\hline-5&-13\\\hline-13&-5\\\hline-65&-1\\\hline\end{array}

の８パターンが条件を満たす。

因数分解で候補をしぼる

次に

$$a^2+ab+b^2=(a+\frac{1}{2}b)^2+\frac{3}{4}b^2>0$$

であるので、上の８パターンのうちマイナスの場合は不適となる

\begin{array}{|c|c|c|} \hline a-b&a^2+ab+b^2 \\ \hline 1&65\\ \hline 5&13\\\hline 13&5\\\hline 65&1 \\\hline\end{array}

不等式で候補をしぼる

次に

$$(a^2+ab+b^2)-(a-b)^2=3ab$$

であることから$(a^2+ab+b^2)-(a-b)^2$は３の倍数となる

\begin{array}{|c|c|c|} \hline a-b&a^2+ab+b^2&(a-b)^2&(a^2+ab+b^2)-(a-b)^2 \\ \hline 1&65&1&64\quad(3の倍数でない)\\ \hline 5&13&25&-12\quad(3の倍数)\\\hline 13&5&169&-164\quad(3の倍数でない)\\\hline 65&1&4225&-4224 \quad(3の倍数)\\\hline\end{array}

この中で３の倍数となっているのは

\begin{array}{|c|c|c|} \hline a-b&a^2+ab+b^2 \\ \hline 5&13\\\hline 65&1 \\\hline\end{array}

の２パターン

倍数、あまりで分類して候補をしぼる

\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} a-b=5\\ a^2+ab+b^2=13 \end{array} \right. \end{eqnarray}

を解くと

$$(a,b)=(4,-1),(1,-4)$$

\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} a-b=65\\ a^2+ab+b^2=1 \end{array} \right. \end{eqnarray}

を解くと、

$$b^2+65b+1408=0$$

これは実数解を持たないのでこの場合は不適

したがって整数解は