【整数問題】2^a3^b+2^c3^d=2022(2022・一橋大)

・\(d=0\) のとき　\(3^b=2021=43\cdot47\) 不適

・\(d=1\) のとき　\(3^b=2019=3\cdot673\) 不適

・\(b≥d≥2\) のとき　\(3^2(3^{b-2}+3^{d-2})=2\cdot3\cdot337\)

素因数「３」の個数が左辺と右辺で異なるので 不適

・\(c=0\) のとき

$$2\cdot3^b+3^d=2\cdot3\cdot337$$

(左辺)=(奇数)　(右辺)=(偶数)　となるので不適

・\(c=1\) のとき

$$3^b+3^d=3\cdot337$$

○\(d=0\) のとき　\(3^b=1010=2\cdot5\cdot101\) 不適

○\(d=1\)のとき　\(3^b=1008=2^4\cdot3^2\cdot7\) 不適

○\(b≥d≥2\)のとき　\(3^2(3^{b-2}+3^{d-2})=3\cdot337\)

素因数「３」の個数が左辺と右辺で異なるので不適

対称性からbに対しても同様である

・\(b=0\) のとき \(2^{a-1}+3^d=3\cdot337\)

○\(d=0\) のとき \(2^{a-1}=1010=2\cdot5\cdot101\) 不適

○\(d≥1\) のとき (左辺)=(３の倍数ではない) (右辺)=(３の倍数)

よって矛盾で、不適

・\(b=1\) のとき

$$2^{a-1}\cdot3+3^d=3\times337$$

○\(d=0\)のとき (左辺)=(３の倍数ではない) (右辺)=(３の倍数) より　不適

○\(d≥1\)のとき

$$2^{a-1}+3^{d-1}=337$$

\begin{array}{|c|c|c|} \hline d & 2^{a-1} & a \\ \hline 1 & 336 & ×\\ \hline 2 & 334 & ×\\ \hline 3 & 328 & ×\\ \hline 4 & 310 & ×\\ \hline 5 & 256 & 9\\ \hline 6 & 94 & ×\\ \hline 7 & × & ×\\ \hline \end{array}

よって\((a,b,c,d,)=(9,1,1,5)\)

・\(b≥2\) のとき

$$2^{a-1}3^b+3^d=3\cdot337$$

右辺の素因数「３」の個数は１個なので左辺も１個

よって \(d=1\)

\(2^{a-1}3^{b-1}=336=3\cdot2^4\cdot7\)

不適