【整数問題】3^a-2^b=1を満たす整数解を全て求めよ（2018・東北大）【カタラン予想】

$$3^a=2^b+1$$

と変形すると、\(2^b>0\) なので

$$3^a=2^b+1>1$$

したがって　\(a≥1\)

$$2^b=3^a-1$$

と変形すると、\(a≥1\)なので

$$2^b=3^a-1≥2$$

したがって　\(b≥1\)

(i) \(b=1\)のとき

$$3^a-2=1\Leftrightarrow 3^a=3\Leftrightarrow a=1$$

よって \(( a , b )=( 1 , 1 )\)

(ii) \(b≥2\)のとき

（２）より \(a=2k 　(k=1,2,3,\cdots)\) とおく

$$3^{2k}-2^b=1$$

$$3^{2k}-1=2^b$$

$$(3^k+1)(3^k-1)=2^b$$

\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} 2^p=3^k+1 ・・・①\\ 2^q=3^k-1 ・・・② \end{array} \right. \end{eqnarray}

とおける（\(p,q\)\( (p>q) \) は自然数）

①ー②より

$$2^p-2^q=2\Leftrightarrow 2^q(2^{p-q}-1)=2$$

これを満たすのは

\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} 2^q=2 \\ 2^{p-q}-1=1 \end{array} \right. \end{eqnarray}

よって　\((p,q)=(2,1)\)

これを①に代入して　\(k=1\)

よって　\((a,b)=(2,3)\)