【整数】$\mathbf{x^{2022}}$ を $\mathbf{x^4-1}$ で割ったあまり【剰余の定理】

問題　$x^{2022}$ を $x^4-1$ で割ったあまりを求めよ。

$x^{2022}$ を $x^4-1$ で割った商を$Q(x)$として、

あまりが３次以下であることに注意すると、

$x^{2022}=(x^4-1)Q(x)+ax^3+bx^2+cx+d$　・・・①と表せる。

ここで$x^4-1=0$を解くと、

$$(x+1)(x-1)(x+i)(x-1)=0$$

と左辺を因数分解できるので、解は$x=1,-1,i,-i$ である。

$x=1,-1,i$ をそれぞれ①に代入して

$x=1$のとき　$1=a+b+c+d$

$x=1$のとき　$-1=-a+b-c+d$

$x=i$のとき　$-1=-ai-b+ci+d=-b+d+(-a+c)$

よって、$-a+c=0$ 　、　 $-b+d=0$

これらの式を連立すると、

$$a=0,b=1,c=0,d=0$$

よって、あまりは　$x^2$

$$x^{2022}$$

$$=x^2(x^{4})^{505}$$

$$=x^2(x^{4}-1+1)^{505}$$

ここで２項定理を利用して

$$=x^2\{\underbrace{(x^{4}-1)^{505}+{}_{505}\mathrm{C}_{1}(x^{4}-1)^{504}+\cdots+{}_{505}\mathrm{C}_{504}(x^{4}-1)}_{(A)}+1\}$$

ここで(A)の５０５個の項は全て$(x^4-1)$ で割り切れる

よって、あまりは　$x^2$

1. n次式で割ったあまりの次数は（n−１)次以下になる
2. 多項式の割り算は２項定理を利用すると、簡単になることがある