今回は、一橋大学の整数問題です。
「整数問題」は３つの解法のアプローチを使うことで、整数解の候補をしぼり、答えを導くことができます。
大切な３つのアプローチは以下の通りです。
整数問題の３つのアプローチ
① 因数分解して絞り込む
② 不等式で絞り込む
③ 倍数、あまりで分類して絞り込む
今回の一橋大学の問題は、３つのアプローチをフル活用して解くことができるので、よい練習問題になると思います。
似ている問題で京都大学の過去問を解説しているので、こちらも参考にしてください。
それではいきましょう。
問題
２以上の整数m,nは
$$m^3+1=n^3+10^3$$
を満たす、整数m,nを求めよ （2009・一橋大学）
解説
それでは、解説していきます。
因数分解して \(( A )\times( B )=定数\) の形を作り、候補を絞り込みます。
$$m^3+1=n^3+10^3$$
$$m^3-n^3=999$$
$$(m-n)(m^2+mn+n^2)=3^3\times37$$
\begin{array}{|c|c|c|} \hline m-n&m^2+mn+n^2 \\ \hline 1 & 999\\ \hline 3 & 333\\ \hline 9 & 111\\ \hline 27 & 37\\ \hline 37 & 27\\ \hline 111 & 9\\ \hline 333 & 3\\ \hline 999 & 1\\ \hline -1 & -999\\ \hline -3 & -3333\\ \hline -9 & -111\\ \hline -27 & -37\\ \hline -37 & -27\\ \hline -111 & -9\\ \hline -333 & -3\\ \hline -999 & -1\\ \hline \end{array}
以上の１６パターン。
さらに候補を絞り込んでいきます。
不等式を利用して、候補を絞り込む
m≥2,n≥2より
\(m^2+mn+n^2≥12\)より
\begin{array}{|c|c|c|} \hline m-n&m^2+mn+n^2 \\ \hline 1 & 999\\ \hline 3 & 333\\ \hline 9 & 111\\ \hline 27 & 37\\ \hline 37 & 27\\ \hline \end{array}
以上の5パターン
不等式を利用して、さらに候補を絞り込む
$$(m^2+mn+n^2)-(m-n)^2=3mn>0$$
\((m^2+mn+n^2)\) が \((m-n)^2\) より大きいを満たす候補を考えると
\begin{array}{|c|c|c|} \hline m-n&m^2+mn+n^2 \\ \hline 1 & 999\\ \hline 3 & 333\\ \hline 9 & 111\\ \hline \end{array}
以上の３通り
さらに
倍数で分類して、候補をしぼる
\((m^2+mn+n^2)-(m-n)^2=3mn\)より
\((m^2+mn+n^2)-(m-n)^2\)が３の倍数となっている候補に絞る
\begin{array}{|c|c|c|} \hline m-n&m^2+mn+n^2&(m-n)^2&(m^2+mn+n^2)-(m-n)^2 \\\hline 1&999&1&998(×３の倍数でない)\\\hline 3&333&9&324(○３の倍数)\\\hline9&111&81&30(○３の倍数)\\\hline \end{array}
よって以下の２パターン
\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} m-n =3 \\ m^2+mn+n^2 = 333 \end{array} \right.\end{eqnarray}
\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} m-n =9 \\ m^2+mn+n^2 = 111 \end{array} \right.\end{eqnarray}
これを解くと
\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} m =12 \\ n=9 \end{array} \right.\end{eqnarray}
\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} m =10 \\ n=1 \end{array} \right.\end{eqnarray}
n≥2より
\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} m =12 \\ n=9 \end{array} \right.\end{eqnarray}
整数問題の３パターンのアプローチをフル活用して、絞り込んでいくことができましたね。
タクシー数（ラマヌジャン）
今回の問題は「タクシー数」が題材となっています。
$$m^3+1=n^3+10^3$$
に、答えの
\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} m =12 \\ n=9 \end{array} \right.\end{eqnarray}
を代入した値
$$12^3+1^3=9^3+10^3=1729$$
「１７２９」のことをタクシー数と言います。
タクシー数とは、2つの立方数の和として n 通りに表される最小の整数のことである。
今回は、 1729 が \(12^3+1\) と \(9^3+10^3\) の2つの立方数の和で表されていることがわかります。
２つの立方数の和であらわされる自然数は 1729 未満には存在しないので、タクシー数ということができます。
タクシー数の由来：ラマヌジャンが指摘した「１７２９」
「タクシー数」の由来は、天才数学者「ラマヌジャン」が何気ないと思われたタクシーのナンバー「１７２９」を「２つの立方数の和で表される数」であることを瞬時に指摘したためと言われています。
クイズノック（ふくらP）の好きな数
タクシー数はクイズノックの「ふくらさん」の好きな数字としてyoutubeで解説されています。
とてもわかりやすい解説ですので、ぜひご覧ください。
まとめ
今回のまとめは以下の通りです
・整数問題の３つのアプローチを理解する
整数問題の３つのアプローチ
① 因数分解して絞り込む
② 不等式で絞り込む
③ 倍数、あまりで分類して絞り込む
・今回の問題の背景知識は「ラマヌジャンのタクシー数」
以上「整数問題（2009・一橋大学）」の解説でした。
少しでも参考になれば幸いです。それではまた。
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