【整数問題】3^a+4^b=5^c を満たす自然数(a,b,c)を求めよ【良問】

mod4（4で割った時のあまり）を考える

$$(-1)^a\equiv 1^c\pmod4$$

$$(-1)^a\equiv1\pmod4$$

よってaは偶数なので、$a=2s$ とおける

mod3（3で割った時のあまり）を考える

$$1^b\equiv(-1)^c\pmod3$$

$$1\equiv(-1)^c\pmod3$$

よってcは偶数なので、$c=2t$ とおける

左辺を因数分解して

$$5^{2t}-3^{2s}=2^{2b}$$

$$\underbrace{(5^t+3^s)}_{2^{2b-p}}\underbrace{(5^t-3^s)}_{2^p}=2^{2b}$$

$$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} 5^t+3^s=2^{2b-p}・・・① \\ 5^t-3^s=2^p・・・② \end{array} \right. \end{eqnarray}$$

とおく（$p$は自然数$(b>p)$）

①ー②より

$$2\cdot3^s=2^{2b-p}-2^p$$

$$2\cdot3^s=2^p(2^{2b-2p}-1)$$

$$3^s=\underbrace{2^{p-1}}_{1}\underbrace{(2^{2(b-p)}-1)}_{3^s}$$

ここで、左辺は $3^s$ より

$$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} 2^{p-1}=1\Leftrightarrow p=1・・・③ \\ 2^{2(b-p)}-1=3^s・・・④ \end{array} \right. \end{eqnarray}$$

④を因数分解して

$$(2^{b-p}+1)(2^{b-p}-1)=3^s$$

このとき$(2^{b-p}+1)$と$(2^{b-p}-1)$が共に３の倍数になることはない

そのため、どちらか「１」となる

$2^{b-p}+1>1$より

$$2^{b-p}-1=1\Leftrightarrow b-p=1・・・⑤$$