背理法を使った証明の練習問題を体験しておきたいな。
という人のために記事です。
今回の記事は前回「直角三角形は、少なくとも１辺は偶数である」の続きです。まだ読んでいない場合はこちらを先にお読みください。
今回は「直角三角形は素数でない辺を持つ」ことを示していきます。
素数って何だっけ、、、？
という方はこの記事を参考にしてください
今回のポイントは以下の通り。
この記事を読むことで
「三平方の定理や素数の性質の確認」
「背理法を使った証明を体験」
するとができます。
それでは見ていきましょう。
直角三角形は素数でない辺がある
方針
今回「背理法」を使って証明します。
①「直角三角形の辺は全て素数である」ことを仮定
②「直角三角形は少なくとも１辺は偶数である」ので１辺は「２」であることが確定する
③ 三平方の定理などで立式し、仮定を満たす整数を求めていく中で矛盾を導く
④「直角三角形は素数でない辺がある」ことを示す
証明
直角三角形の３辺が整数であるとすると、素数でない辺がある
直角三角形の３辺を\(a,b,c\ (a≤b<c)\)とする（a,b,cは正の整数）
三平方の定理より
$$a^2+b^2=c^2$$
a,b,cは全て素数であると仮定する
前回の記事より（※補足１）
直角三角形は少なくとも１辺は偶数であることから
素数の中で偶数であるのは「２」、またこれは最小の素数であるので
a=2としてよい
$$4+b^2=c^2$$
$$(c+b)(c-b)=4$$
\(c+b>c-b>0\)より
$$c+b=4,c-b=1$$
$$c=\frac{5}{2},b=\frac{3}{2}$$
これはb,cが素数であることと矛盾する
したがって
直角三角形の３辺が整数であるとすると、素数でない辺がある
補足
前回の記事で証明しています
まとめ
今回は、「背理法」の練習として
「直角三角形は素数ではない辺を持つ」
を証明していきました。
背理法は、様々な証明で活躍する大切な考え方なのでぜひマスターしていきましょう。
それでは今回はここまでです。
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