【2022　共通テスト　数学ⅠA　問４】1次不定方程式〜合同式（mod）を利用した解法〜【裏技】

$$5^4x-2^4y=1　・・・①$$

$$625x-16y=1$$

625を16で割ったあまりが、１なので

$$x\equiv1\pmod{16}$$

よって

$$x=16k+1$$

これを①に代入して

$$625(16k+1)-16y=1$$

$$625\cdot 16k+625-16y=1$$

$$16y=625\cdot16k+624$$

$$y=625k+39$$

よって

$$x=16k+1 , y=625k+39$$

xが２桁で最小となるのは、k=1のとき

$$x=17 , y=664$$

$$5^5x-2^5y=1　・・・①$$

$$5\cdot625x-32y=1$$

625を32で割ったあまりが、17なので

$$5\cdot17x\equiv1\pmod{32}$$

$$85x\equiv1\pmod{32}$$

85を32で割ったあまりが、21なので

$$21x\equiv1\pmod{32}　・・・②$$

また、21から32引いて-11となるので

$$-11x\equiv1\pmod{32}　・・・③$$

③×(-2)-②より

$$x\equiv-3\pmod{32}$$

よって

$$x=32k-3$$

これを①に代入して

$$5^5(32k-3)-32y=1$$

$$3125\cdot 32k-9375-32y=1$$

$$32y=3125\cdot32k-9376$$

$$y=3125k-293$$

よって

$$x=32k-3 , y=3125k-293$$

xが３桁で最小となるのはk=4のとき

$$x=125 , y=12207$$

$$11^5x-2^5y=1　・・・①$$

$$11\cdot121\cdot121x-32y=1$$

121を32で割ったあまりが、–7なので

$$11\cdot(-7)\cdot(-7)x\equiv1\pmod{32}$$

$$11\cdot49x\equiv1\pmod{32}$$

49を32で割ったあまりが、17なので

$$17\cdot11\equiv1\pmod{32}$$

$$187\equiv1\pmod{32}$$

187を32で割ったあまりが、-5なので

$$-5x\equiv1\pmod{32}$$

右辺に、32を２回足して

$$-5x\equiv65\pmod{32}$$

5と32は互いに素なので、両辺-5で割って

$$x\equiv-13\pmod{32}$$

よって

$$x=32k-13$$

これを①に代入して

$$11^5\cdot(32k-13)-32y=1$$

$$161051\cdot32k-2093663-32y=1$$

$$32y=161051\cdot32k-2093664$$

$$y=161051k-65427$$

よって

$$x=32k-13 , y=161051k-65427$$

xが正で最小となるのは、k=1のとき

$$x=19 , y=95624$$