【整数】フェルマーの小定理〜定理、証明、利用方法〜

を示す。

（１）a=1のとき

$$1^p\equiv1\pmod{p}$$

（２）a=kのとき

$$k^p\equiv k\pmod{p}$$

と仮定する。

　　　a=k+1のとき

$$(k+1)^p=k^p+\underbrace{_pC_1k^{p-1}+_pC_2k^{p-2}+\dots+_pC_1k}_{pの倍数}+1^p　\dots(※補足)$$

$$\equiv k^p+1\pmod{p}$$

$$\equiv k+1\pmod{p}$$

（１）（２）より　

$$a^p\equiv a \pmod{p}$$

$$_pC_k=\frac{p(p-1)(p-2)\cdots(p-k+2)(p-k+1)}{k(k-1)(k-2)\cdots2\cdot1}$$

pは素数なので、分母のどの整数とも約分することができない。

したがって、$_pC_k$　はpの倍数　$（k=1,2,\cdots,k）$

p を素数とする。
(1) $_pC_k (k=1,2,\cdots,p−1)$は、いずれもpで割り切れることを証明せよ。

(2) (1)を用いて、すべての自然数nに対して、$n^p −n$は$p$で割り切れることを証明せよ。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（1974 早稲田大）

nが２以上の自然数のとき　$n^7-n$が７の倍数であることを示せ（2006・日本女子大学）

フェルマーの小定理より

$$n^7-n\equiv n-n\equiv 0\pmod7$$

したがって、$n^7-n$が７の倍数

$n^5$の１の位と$n$の１の位が一致することを示せ

（１）フェルマーの小定理より

$$n^5-n\equiv n-n\equiv 0\pmod5$$

よって$n^5-n$が5の倍数

（２）

nが奇数のとき　$n^5-n$は２の倍数

nが偶数のとき　$n^5-n$は２の倍数

よって　$n^5-n$は２の倍数

（１）（２）より　$n^5-n$は１０の倍数

$n^5$を１０で割ったあまりと$n$を１０で割ったあまりが一致する

したがって$n^5$の１の位と$n$の１の位が一致する