【整数】２進法、２進数　〜位取りが全て〜　【分かりやすく解説】

２進法ってなに、、、？

という方に向けた記事です。２進法について分かりやすく解説したいと思います。

２進法とは
まとめ

２進法とは

１０進法とは

２進法を考える前に、使い慣れている１０進法で確認して見ます。

10進法

位取りの基準を１０として、10個の数字「０」「１」「２」、、、「８」「９」を用いて表す表し方

（このように表された数を１０進数という）

１０進数はいつも使っている表し方です。

例えば、5213　であれば、

$\begin{array}{|c|c|c|} \hline 千の位　& 百の位 & 十の位 & 一の位 \\ \hline 5 & 2 & 1&3 \\ \hline \end{array}$

千の束が5個、百の束が２個、十の束が１個、一の位が３個の数字ということですね。

２進法とは

それでは、２進法について見ていきましょう。

２進法

位取りの基準を２として、2個の数字「０」「１」を用いて実数を表す表し方

（このように表された数を２進数という）

例えば、 $10110_{(2)}$ のように表します。（２）は２進数で表されているということです。

$\begin{array}{|c|c|c|} \hline 2^4の位& 2^3の位　& 2^2の位 & 2の位 & 1の位 \\ \hline 1 &0 & 1 & 1&0 \\ \hline \end{array}$

これは、 $2^4$ が1個、 $2^3$ が０個、 $2^2$ が１個、 $2$ が１個、 $1$ が０個の数です。

１０進数で表すと $16+4+2=22$ です。

数の表し方は１０進法だけではない

私たちが一番慣れ親しんでいるのは、１０進法の表し方です。しかし実は、いろいろな表し方もしています。

例えば、時間です。

時間は、６０分で１時間です。これは、６０進法です。

２４時間で、１日。これは、２４進法です。

１２個集まる１ダースと言います。これは、１２進法です。

私たちは、その場に合わせて便利な数の表し方をしているわけです。

なぜ１０進法が一番使われるのか

一番多く使うのは、間違いなく１０進法です。人類にとって一番便利なのは、１０進法というわけです。それはなぜでしょう。

この答えは、人間の指の数が合わせて10本だからと言われています。

１０個集まったら繰り上げるという表し方が、10本指の人間にとって数えやすかったのでしょう。

もしかしたら６本指の宇宙人がいれば、６進法を採用しているかもしれません。

コンピュータは２進法

２進法はどんな時に便利でしょう。

コンピュータは２進法を使用しています。スイッチのオン、オフと「１」「０」を対応させて数字を表しているからです。

２進法を１０進法に

２進法で表された数を１０進法で表す方法を見ていきましょう。

例１

$11011_{(2)}$ を１０進法で表してみましょう。

まず、位取りをしていきます。

位は２進法なので、１から始めて２倍２倍していきます

１のところの位を足し合わせます。

$16+8+2+1=27$

$\begin{array}{c|c|c} 16& 8&4& 2& 1 \\ \hline 1&1 & 0 &1&1\\ \end{array}$

$\begin{array}{c|c|c} \color{blue}{16}& \color{blue}{8}&4& \color{blue}{2}& \color{blue}{1} \\ \hline \color{blue}{1} &\color{blue}{1} & 0 &\color{blue}{1}&\color{blue}{1} \\ \end{array}$

例２

$111111_{(2)}$ を１０進法で表してみましょう。

まず、位取りをしていきます。

１のところの位を足し合わせます。

$64+32+16+8+4+2+1=127$

$\begin{array}{c|c|c} \color{blue}{64}&\color{blue}{32}&\color{blue}{16}& \color{blue}{8}&\color{blue}{4}& \color{blue}{2}& \color{blue}{1} \\ \hline \color{blue}{1} &\color{blue}{1} & \color{blue}{1}&\color{blue}{1}&\color{blue}{1} &\color{blue}{1}&\color{blue}{1} \\ \end{array}$

○進法を１０進法に

以上のことを使えば、２進数以外のものも１０進数に直すことがきます。

３進法で表されたものを１０進法で表します。

例３

$11021_{(3)}$ を１０進法で表してみましょう。

まず、位取りをしていきます。

１のところの位を足し合わせます。

$81+27+3\times2+1=115$

$\begin{array}{c|c|c} \color{blue}{81}& \color{blue}{27}&9& \color{blue}{3}& \color{blue}{1} \\ \hline \color{blue}{1}&\color{blue}{1}&0 &\color{blue}{2}&\color{blue}{1} \\ \end{array}$

他の○進法であっても同様に行えば、１０進法に変換することができます。

とにかく位取りを正確に行うことが重要です。

位取りが重要

１０進法を２進法に

次に１０進法を２進法に変換する方法を見ていきましょう。

例４

１０進法で表された１３を２進法で表してみましょう。

これもまず、位取りをしていきます。

1３を表すので、最高位は８で十分です。

８、４、２、１のいずれかを足し合わせて13を作ります。

高位から考えるのがポイントです。

８を１個、４を1個、１を1個でちょうど13です。これを表に書き入れます。

$1101_{(2)}$

と変換できます。

$\begin{array}{c|c|c} 8&4& 2& 1 \\ \hline & & &\\ \end{array}$

$\begin{array}{c|c|c} \color{blue}{8}&\color{blue}{4}&2& \color{blue}{1} \\ \hline \color{blue}{1}&\color{blue}{1}&0&\color{blue}{1}\\ \end{array}$

例４　別の方法

別の方法も紹介します。

図のように１３を２でわり商を下に、余りを右側に書き入れます。

さらに商を２で割るということをを繰り返します。

下から図のように読み取って、

$\color{blue}{1101}_{(2)}$

と変換できます。

$\begin{array}{c|cc} 2&13 \\ \hline &6&\cdots1 \\ \end{array}$

$\begin{array}{c|cc} 2&13 \\ \hline 2&6&\cdots1\\ \hline 2&3&\cdots0\\\hline&1&\cdots1 \end{array}$

$\begin{array}{c|cc} 2&13 \\ \hline 2&6&\cdots\color{blue}{1↑}\\ \hline 2&3&\cdots\color{blue}{0↑}\\\hline&\color{blue}{1→}&\cdots\color{blue}{1↑} \end{array}$

どちらの方法でも、解くことができます。

引き続き例題を見てみましょう。

例５

１０進法で表された８２を２進法で表してみましょう。

これもまず、位取りをしていきます。

８２を表すので、最高位は６４で十分です。

64を１個、16を1個、2を1個でちょうど82です。これを表に書き入れます。

$1010010_{(2)}$

と変換できます。

$\begin{array}{c|c|c} 64&32&16&8&4& 2& 1 \\ \hline & & &\\ \end{array}$

$\begin{array}{c|c|c} \color{blue}{64}& 32&\color{blue}{16}&8&4&\color{blue}{2}&1\\ \hline \color{blue}{1}&0&\color{blue}{1}&0&0&\color{blue}{1}&0\\ \end{array}$