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【整数】1次不定方程式〜合同式(mod)利用〜【裏技】

整数

今回は、1次不定方程式の合同式を利用した解き方を解説します。

わか
わか

この記事は、「わか」が執筆しています。

私「わか」(https://twitter.com/wakkachan2019)は、国立大学数学科を卒業後、数学教育に10年以上関わっています。

この記事を読むと

・1次不定方程式の合同式(mod)を使った解き方

・1次不定方程式を、素早く解く方法

がわかります。

1次方程式についての基本は、以下の記事で解説しています。

合同式に関しての解説は、以下の記事を参考にしてください。

1次方程式を合同式(mod)を使って解く〜3つの例題〜

合同式の式変形の際、以下のコツを使うと素早く解けます。

1.今までの式を、足したり引いたりして、xの係数を「1」にする

2.両辺わって、xの係数を「1」にする(※互いに素であることを確認する)

例題1

例題1

5x+3y=1 

3yは3で割り切れるので

5x1(mod3) 

5は3で割ると、2余るので

2x1(mod3) 

②ー③×2をして

x1(mod3)

xは3で割ったとき、 −1余るので

x=3k1

これを①に代入して

5(3k1)+3y=1

y=5k+2

よって

x=3k1,y=5k+2

例題2

例題2

19x+21y=34 

19xは19で割り切れるので

21y34(mod19)

21は19で割ると2余る、34は19で割ると-4余るので

2y4(mod19)

「2」と「19」は互いに素なので、両辺2で割って

y2(mod19)

yは19で割ると−2余るので

y=19k2

これを①に代入して

19x+21(19k2)=34

19x+2119k42=34

19x=2119k+76

x=21k+4

よって

x=21k+4y=19k2

例題3

例題3

71x+32y=3 

32yは32で割り切れるので

71x3(mod32)

71は32で割ると7余るので

7x3(mod32)

335(mod32)より

7x35(mod32)

「7」と「32」は互いに素より、両辺7で割って

x5(mod32)

x=32k+5

これを①に代入して

71(32k+5)+32y=3

7132k+355+32y=3

32y=7132k352

y=71k11

よって

x=32k+5y=71k11

以上で、1次方程式を「合同式(mod)」を使って解く方法の解説終わります。

2022共通テストの不定方程式解説はコチラ

一次不定方程式のポイント解説はコチラ

わか
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少しでも参考になれば幸いです。ありがとうございました。

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