今回は、1次不定方程式の合同式を利用した解き方を解説します。

この記事は、「わか」が執筆しています。
私「わか」(https://twitter.com/wakkachan2019)は、国立大学数学科を卒業後、数学教育に10年以上関わっています。
この記事を読むと
・1次不定方程式の合同式(mod)を使った解き方
・1次不定方程式を、素早く解く方法
がわかります。
1次方程式についての基本は、以下の記事で解説しています。
合同式に関しての解説は、以下の記事を参考にしてください。
1次方程式を合同式(mod)を使って解く〜3つの例題〜
合同式の式変形の際、以下のコツを使うと素早く解けます。
1.今までの式を、足したり引いたりして、xの係数を「1」にする
2.両辺わって、xの係数を「1」にする(※互いに素であることを確認する)
例題1
5x+3y=1 ・・・①
3yは3で割り切れるので
5x≡1(mod3) ・・・②
5は3で割ると、2余るので
2x≡1(mod3) ・・・③
②ー③×2をして
x≡−1(mod3)
xは3で割ったとき、 −1余るので
x=3k−1
これを①に代入して
5(3k−1)+3y=1
y=−5k+2
よって
x=3k−1,y=−5k+2
例題2
19x+21y=34 ・・・①
19xは19で割り切れるので
21y≡34(mod19)
21は19で割ると2余る、34は19で割ると-4余るので
2y≡−4(mod19)
「2」と「19」は互いに素なので、両辺2で割って
y≡−2(mod19)
yは19で割ると−2余るので
y=19k−2
これを①に代入して
19x+21(19k−2)=34
19x+21⋅19k−42=34
19x=21⋅19k+76
x=21k+4
よって
x=21k+4、y=19k−2
例題3
71x+32y=3 ・・・①
32yは32で割り切れるので
71x≡3(mod32)
71は32で割ると7余るので
7x≡3(mod32)
3≡35(mod32)より
7x≡35(mod32)
「7」と「32」は互いに素より、両辺7で割って
x≡5(mod32)
x=32k+5
これを①に代入して
71(32k+5)+32y=3
71⋅32k+355+32y=3
32y=−71⋅32k−352
y=−71k−11
よって
x=32k+5、y=−71k−11
以上で、1次方程式を「合同式(mod)」を使って解く方法の解説終わります。
2022共通テストの不定方程式解説はコチラ
一次不定方程式のポイント解説はコチラ

少しでも参考になれば幸いです。ありがとうございました。
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