【整数】１次不定方程式〜合同式（mod）利用〜【裏技】

$$5x+3y=1　・・・①$$

3yは３で割り切れるので

$$5x\equiv1\pmod3　・・・②$$

５は３で割ると、２余るので

$$2x\equiv1\pmod3　・・・③$$

②ー③×２をして

$$x\equiv-1\pmod3$$

xは３で割ったとき、　−１余るので

$$x=3k-1$$

これを①に代入して

$$5(3k-1)+3y=1$$

$$y=-5k+2$$

よって

$$x=3k-1 , y=-5k+2$$

$$19x+21y=34　・・・①$$

19xは19で割り切れるので

$$21y\equiv34\pmod{19}$$

21は19で割ると２余る、34は19で割ると-4余るので

$$2y\equiv-4\pmod{19}$$

「２」と「19」は互いに素なので、両辺２で割って

$$y\equiv-2\pmod{19}$$

yは19で割ると−２余るので

$$y=19k-2$$

これを①に代入して

$$19x+21(19k-2)=34$$

$$19x+21\cdot19k-42=34$$

$$19x=21\cdot19k+76$$

$$x=21k+4$$

よって

$$x=21k+4、y=19k-2$$

$$71x+32y=3　・・・①$$

32yは32で割り切れるので

$$71x\equiv3\pmod{32}$$

71は32で割ると７余るので

$$7x\equiv3\pmod{32}$$

\(3\equiv35\pmod{32}\)より

$$7x\equiv35\pmod{32}$$

「７」と「３２」は互いに素より、両辺７で割って

$$x\equiv5\pmod{32}$$

$$x=32k+5$$

これを①に代入して

$$71(32k+5)+32y=3$$

$$71\cdot32k+355+32y=3$$

$$32y=-71\cdot32k-352$$

$$y=-71k-11$$

よって

$$x=32k+5、y=-71k-11$$