【整数問題】nは自然数。３つの整数　n^3+2、n^4+2、n^6+2の最大公約数A_nを求めよ。（2022・京都大学）

具体的な数字を代入して、最大公約数を求める

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline &1&2&3&4&5&6\\\hline n^2+2&3&6&11&18&27&38 \\ \hline n^4+2 &3&18&83&258&25^2+2&36^2+2\\\hline n^6+2&3&66&731&4098&25^3+2&36^3+2\\\hline A_n&3&6&1&6&3&2\\ \hline \end{array}$$

またmod3を考えると

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline n &1&2&3&4&5&6\\\hline n^2+2\pmod3&0&0&2&0&0&2 \\ \hline n^4+2 \pmod3 &0&0&2&0&0&2\\\hline n^6+2\pmod3&0&0&2&0&0&2\\ \hline \end{array}$$

mod2を考えると

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline n &1&2&3&4&5&6\\\hline n^2+2\pmod2&0&1&0&1&0&1 \\ \hline n^4+2 \pmod2 &0&1&0&1&0&1\\\hline n^6+2\pmod2&0&1&0&1&0&1\\ \hline \end{array}$$

mod6を考えるとうまくいきそうという見当を付ける。

$$n^4+2=(n^2+2)(n^2-2)+6$$

より、$n^4+2$ と $n^2+2$ の最大公約数は

$n^2+2$ と ６ の最大公約数と等しい

$$n^6+2=(n^2+2)(n^4-2n^2+2)-6$$

より、$n^6+2$ と $n^2+2$ の最大公約数は

$n^2+2$ と ６ の最大公約数と等しい

$A_n$ は６の約数「１、２、３、６」のいずれかが候補となる

$n^2+2$ を６で割った余りを考えれば良いので

以下 $\pmod6$ を考える

①、②、③、④より

$$\begin{eqnarray} A_n = \begin{cases} 2 & ( n \equiv 0\mod6 ) \\ 3 & ( n \equiv \pm1\mod6 ) \\6 & ( n \equiv \pm2\mod6 ) \\1 & ( n \equiv \pm3\mod6 ) \end{cases} \end{eqnarray}$$