【整数】不定方程式　〜定期テストプラス１０点〜【解き方】

不定方程式の１組の整数解は $$(-1,1)$$ であるので

①にx=-1,y=1を代入して

$$3\times (-1)+4\times 1=1\cdots②$$

①ー②をすると

$$\begin{array}{c|cc} &3&\times&x&+&4&\times&y&=&1 \\ -&3&\times&(-1)&+&4&\times&1&=&1 \\ \hline &3&\times&\{x-(-1)\}&+&4&\times&(y-1)&=&0\end{array}$$

よって

$$3(x+1)=-4(y-1)$$

$$3(x+1)=4(1-y)$$

ここで、３と４は互いに素な整数であるので、

kを整数として

$$x+1=4k,1-y=3k$$

$$x=4k-1,y=-3k+1$$

$$3x+4y=1$$

$$y=-\frac{3}{4}x+\frac{1}{4}$$

なので、傾き$-\frac{3}{4}$の直線

傾きが$\dfrac{-3}{4}$なので、右に４進んで、３下がる。

つまり整数解は

x軸方向には４ごとに、y軸方向には−３ごとに現れる。

よって

$$x=4k+○,y=-3k+△$$

と表すことができる。

ここで一つの整数解は(-1,1)であるので、○,△に-1,1を当てはめて

$$x=4k-1,y=-3k+1$$

を求めることができる。

$$92x+197y=1$$

197yを92の倍数となるよう184yと13yに分ける

$$92x+184y+13y=1$$

$$92\underbrace{(x+2y)}_{1}+13\underbrace{y}_{-7}=1$$

$$x+2y=1,y=-7$$

$$x=15,y=-7$$

$$(15,-7)$$

が一つの整数解と分かる

$$y=-\frac{92}{197}x+\frac{1}{197}$$

よって傾きは$\dfrac{-92}{197}$

したがって

$$x=197k+○,y=-92k+△$$

と表せる。一つの整数解は

$$(15,-7)$$

なので

$$x=197k+15,y=-92k-7$$

とりあえず

$$115x+366y=1$$

の一つの整数解を見つける

366yを115の倍数となるように345yと21yに分ける

$$115x+345y+21y=1$$

$$115(x+3y)+21y=1$$

少し試してみると

$$x+3y=-2,y=11$$

と分かるので

$$x=-35,y=11$$

$$115x+366y=1$$

の一つの整数解は(-35,11)なので

$$115x+366y=3$$

の一つの整数解はそれぞれ３倍して

$$(-105,33)$$

$$115x+366y=3$$

$$y=\frac{-115}{366}x+\frac{3}{366}$$

傾きは$\dfrac{-155}{366}$

$$x=366k+○,y=-155k+△$$

と表せる。一つの整数解は

$$(-105,33)$$

なので

$$x=366k-105,y=-155k+33$$