【2005数学オリンピック】a_n=2^n+3^n+6^n-1全ての項と互いに素な自然数を求めよ【整数問題】

$$a_n=2^n+3^n+6^n-1$$

また、4以下の素数 2 , 3 で割り切れる \(a_n\) が存在するか確認する

以上より、どの素数に対しても、割り切れる \(a_n\) は存在する

したがって、全ての \(a_n\) と互いに素な整数は１のみとなる

$$a_n=2^n+3^n+6^n-1$$

２、３などで割り切れるので、２、３とは「互いに素ではない」とわかる。

２で割り切れるとき、２の倍数（４、６、８、・・・）は「互いに素ではない」

３で割り切れるとき、３の倍数（６、９、１２、・・・）は「互いに素ではない」などから

に注目して考えればよいことに気づく

現状、素数２、３、５で割り切れている

\(a_1\)〜\(a_4\)の中に７で割り切れるものはないので「７」が解の候補ではと疑う

\(a_5\) も試す

$$a_5=32+243+6^5-1$$

計算が大変になってきたので、合同式（mod）を使う

$$a_5\equiv(-3)+(-2)+(-1)^5-1\equiv-7\equiv0\pmod7$$

7で割り切れる。この辺りで

と予想する。

１１で割り切れる\(a_n\)を見つけたいが、今までの実験では割り切れるものはない。

\(a_5\) が ７で割り切れたことから\(a_9\)が１１で割り切れるのではと思う【いろいろ試しつつたどり着いた】

$$a_9=2^9+3^9+6^9-1$$

$$\equiv32\cdot16+243\cdot81+6\cdot9^2-1\pmod{11}$$

$$\equiv(-1)\cdot 5+1\cdot4+6\cdot(-2)^2-1\pmod{11}$$

$$\equiv-5+4+24-1\equiv-5+4+2-1\equiv0\pmod{11})$$

１１で割り切れた。この段階で

を示せればよいと考える。

素数pに対して

$$a_{p-2}=2^{p-2}+3^{p-2}+6^{p-2}-1\equiv0\pmod{p}$$

を示したい。ここで

が思い浮かぶが、指数部分がずれているので、そのままでは使えない。

フェルマーの小定理が使えるように

すればよい

$$6a_{p-2}=3\cdot2^{p-1}+2\cdot3^{p-1}+6^{p-1}-6$$

$$\equiv3\cdot1+2\cdot1+1-6\equiv0\pmod{p}$$

示せました。

６が２や３で割り切れてしまうので、２と３は場合分けして考えればよい。