【整数問題】a,b,cの最大公約数が１のとき、a+b+c,a^2+b^2+c^2,a^3+b^3+c^3の最大公約数を全て求めよ。（2022・東工大）【対称式】

今回は、「整数問題（２０２２・東工大）」について解説しました。

この記事を読むと

整数問題（２０２２・東工大）の解法
「対称式」や「最大公約数」がテーマの問題の１つのアプローチ
背理法を利用を利用した解法
対称式が基本対称式で表されることの利用方法

について理解するとができます。

この記事は「わか」が執筆しています。

私「わか」（https://twitter.com/wakkachan2019）は、国立大学数学科を卒業後、数学教育に10年以上関わっています。

問題：整数問題（2022・東工大）
解説：整数問題（2022・東工大）
補足
まとめ：整数問題（2022・東工大）

問題：整数問題（2022・東工大）

問題

３つの正の整数 $a,b,c$ の最大公約数が１であるとき、次の問に答えよ。

(1) 「$a+b+c$」 , 「$ab+bc+ca$」 , 「$abc$」の最大公約数が１であることを示せ。

(2) 「$a+b+c$」 , 「$a^2+b^2+c^3$」 , 「$a^3+b^3+c^3$」の最大公約数となるような正の整数を全て求めよ。

解説：整数問題（2022・東工大）

（１）解説：背理法利用

（１）解説

背理法を使って証明する

「$a+b+c$」 , 「$ab+bc+ca$」 , 「$abc$」の最大公約数が１でない

と仮定する

つまり、pを素数として

\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} a+b+c&=&pl&・・・① \\ ab+bc+ca&=&pm&・・・② \\abc&=&pn&・・・③ \end{array} \right. \end{eqnarray}

と表すことができる

③より　

$$\underbrace{abc}_{\color{red}{pの倍数}}=pn$$

$a,b,c$ の少なくとも１つは、pの倍数となる

aをpの倍数とする（対称性から一般性は保たれる）

②より

$$\underbrace{ab}_{pの倍数}+\underbrace{bc}_{\color{red}{pの倍数}}+\underbrace{ca}_{pの倍数}=pm$$

$b,c$ の少なくとも一方は、pの倍数となる

bをpの倍数とすると

①より

$$\underbrace{a}_{pの倍数}+\underbrace{b}_{pの倍数}+\underbrace{c}_{\color{red}{pの倍数}}=pl$$

以上より、$a,b,c$はいずれもpの倍数となる

これは、「$a,b,c$の最大公約数が１である」ことに矛盾する

したがって、「$a+b+c$」 , 「$ab+bc+ca$」 , 「$abc$」の最大公約数は１

（証明終）

（２）解説：対称式は基本対称式で表すことができる

（２）解説

「$a+b+c$」 , 「$a^2+b^2+c^3$」 , 「$a^3+b^3+c^3$」をそれぞれ

基本対称式「$X=a+b+c$」 , 「$Y=ab+bc+ca$」 , 「$Z=abc$」を使って表す

$$\color{blue}{a+b+c}=\color{blue}{X}$$

$$\color{blue}{a^2+b^2+c^2}=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)=\color{blue}{X^2-2Y}$$

$$\color{blue}{a^3+b^3+c^3}=(a+b+c)(a^2+b^2+c^3-ab-bc-ca)+3abc$$

$$=X(X^2-2Y-Y)+3Z=\color{blue}{X^3-3XY+3Z}$$

\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} a+b+c&=&X&・・・① \\ a^2+b^2+c^2&=&X^2-2Y&・・・② \\a^3+b^3+c^3&=&X^3-3XY+3Z&・・・③ \end{array} \right. \end{eqnarray}

①②より「$a+b+c$」と「$a^2+b^2+c^2$」の最大公約数は「X」と「2Y」の最大公約数

①③より「$a+b+c$」と「$a^3+b^3+c^3$」の最大公約数は「X」と「3Z」の最大公約数

つまり

「$a+b+c$」と「$a^2+b^2+c^2$」と「$a^3+b^3+c^3$」の最大公約数は

「X」と「2Y」と「3Z」の最大公約数

ここで「X」「2Y」「3Z」の最大公約数をdとすると

dは「6X」「6Y」「6Z」も割り切る

（１）より「X」「Y」「Z」の最大公約数は１なので

dの候補は６の約数の１、２、３、６のみとなる

最後に１、２、３、６が実際に最大公約数になるか調べる

\begin{array}{|c|c|c|} \hline a & b & c &a+b+c&a^2+b^2+c^2&a^3+b^3+c^3&最大公約数\\ \hline 1 & 1 & 1&3&3&3&3\\\hline1&1&2&4&6&10&2 \\\hline1&1&3&5&11&29&1\\\hline1&1&4&6&18&66&6\\ \hline \end{array}

確かに１、２、３、６が最大公約数となっていることから

「$a+b+c$」 , 「$a^2+b^2+c^3$」 , 「$a^3+b^3+c^3$」の最大公約数

となるような正の整数は１、２、３、６