【整数問題】a,b,cの最大公約数が１のとき、a+b+c,a^2+b^2+c^2,a^3+b^3+c^3の最大公約数を全て求めよ。（2022・東工大）【対称式】

３つの正の整数 $a,b,c$ の最大公約数が１であるとき、次の問に答えよ。

(1) 「$a+b+c$」 , 「$ab+bc+ca$」 , 「$abc$」 の最大公約数が１であることを示せ。

(2) 「$a+b+c$」 , 「$a^2+b^2+c^3$」 , 「$a^3+b^3+c^3$」 の最大公約数となるような正の整数を全て求めよ。

背理法を使って証明する

と仮定する

つまり、pを素数として

$$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} a+b+c&=&pl&・・・① \\ ab+bc+ca&=&pm&・・・② \\abc&=&pn&・・・③ \end{array} \right. \end{eqnarray}$$

と表すことができる

③より　

$a,b,c$ の少なくとも１つは、pの倍数となる

aをpの倍数とする（対称性から一般性は保たれる）

②より

$b,c$ の少なくとも一方は、pの倍数となる

bをpの倍数とすると

①より

以上より、$a,b,c$はいずれもpの倍数となる

これは、「$a,b,c$の最大公約数が１である」ことに矛盾する

したがって、「$a+b+c$」 , 「$ab+bc+ca$」 , 「$abc$」 の最大公約数は１

（証明終）

「$a+b+c$」 , 「$a^2+b^2+c^3$」 , 「$a^3+b^3+c^3$」 をそれぞれ

基本対称式「$X=a+b+c$」 , 「$Y=ab+bc+ca$」 , 「$Z=abc$」 を使って表す

$$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} a+b+c&=&X&・・・① \\ a^2+b^2+c^2&=&X^2-2Y&・・・② \\a^3+b^3+c^3&=&X^3-3XY+3Z&・・・③ \end{array} \right. \end{eqnarray}$$

①②より「$a+b+c$」と「$a^2+b^2+c^2$」の最大公約数は「X」と「2Y」の最大公約数

①③より「$a+b+c$」と「$a^3+b^3+c^3$」の最大公約数は「X」と「3Z」の最大公約数

つまり

ここで「X」「2Y」「3Z」の最大公約数をdとすると

dは「6X」「6Y」「6Z」も割り切る

（１）より「X」「Y」「Z」の最大公約数は１なので

dの候補は６の約数の１、２、３、６のみとなる

最後に１、２、３、６が実際に最大公約数になるか調べる

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline a & b & c &a+b+c&a^2+b^2+c^2&a^3+b^3+c^3&最大公約数\\ \hline 1 & 1 & 1&3&3&3&3\\\hline1&1&2&4&6&10&2 \\\hline1&1&3&5&11&29&1\\\hline1&1&4&6&18&66&6\\ \hline \end{array}$$

確かに１、２、３、６が最大公約数となっていることから

「$a+b+c$」 , 「$a^2+b^2+c^3$」 , 「$a^3+b^3+c^3$」 の最大公約数

となるような正の整数は１、２、３、６