今回、整数問題(2022・東京大学・文科)の解説をします。
この記事を読むと
- 整数問題(2022・東京大学・文科)の解法
- 合同式を利用した解法
- 整数問題の「数学的帰納法」の利用方法
- 最大公約数の利用方法
について理解できます。
この記事は「わか」が執筆しています。
私「わか」(https://twitter.com/wakkachan2019)は、国立大学数学科を卒業後、数学教育に10年以上関わっています。
問題:整数問題(2022・東京大学・文科)
数列anを次のように定める。
a1=4,an+1=a2n+n(n+2) (n=1,2,3,⋯)
(1) a2022 を3で割った余りを求めよ。
(2) a2022,a2023,a2024 の最大公約数を求めよ。
解説:整数問題(2022・東京大学・文科)
実験(とりあえずa1,a2,a3を求める)
a1=4
a2=42+2⋅4=24
a3=242+3⋅5=584
これ以上は大きくなってしまって、計算が大変そうです。
実験(an(mod3)を具体的に求める)
「3で割ったあまり(mod3)」に注目して考えます。
a1≡4≡1(mod3)
a2≡12+2⋅4≡9≡0(mod3)
a3≡02+3⋅5≡15≡0(mod3)
a4≡02+4⋅6≡24≡0(mod3)
a5≡02+5⋅7≡35≡2(mod3)
a6≡22+6⋅8≡52≡1(mod3)
a7≡12+7⋅9≡64≡1(mod3)
a8≡12+8⋅10≡81≡0(mod3)
⋅
a2とa8の仕組みが「12+(3の倍数以外の積) 」で同じことに気づくと
この後同様に繰り返すと予想できます。
つまり
3で割ったあまりは 1、0、0、0、2、1 の繰り返し
と予想します。
(1)解答:数学的帰納法利用
k=0,1,2,3⋯ として
{a6k+1≡1(mod3)a6k+2≡0(mod3)a6k+3≡0(mod3)a6k+4≡0(mod3)a6k+5≡2(mod3)a6k+6≡1(mod3)
を数学的帰納法を使って示す
(i)k=0 のとき
a1≡4≡1(mod3)
a2≡12+2⋅4≡9≡0(mod3)
a3≡02+3⋅5≡15≡0(mod3)
a4≡02+4⋅6≡24≡0(mod3)
a5≡02+5⋅7≡35≡2(mod3)
a6≡22+6⋅8≡52≡1(mod3)
よって成立する
(ii)k=s のとき成立すると仮定する
{a6s+1≡1(mod3)a6s+2≡0(mod3)a6s+3≡0(mod3)a6s+4≡0(mod3)a6s+5≡2(mod3)a6s+6≡1(mod3)
k=s+1 のとき
a6(s+1)+1≡a6s+7≡a26s+6+(6s+7)(6s+9)≡12+1⋅0≡1(mod3)a6(s+1)+2≡a6s+8≡a26s+7+(6s+8)(6s+10)≡12+2⋅1≡0(mod3)a6(s+1)+3≡a6s+9≡a26s+8+(6s+9)(6s+11)≡02+0⋅2≡0(mod3)a6(s+1)+4≡a6s+10≡a26s+9+(6s+10)(6s+12)≡02+1⋅0≡0(mod3)a6(s+1)+5≡a6s+11≡a26s+10+(6s+11)(6s+13)≡02+2⋅1≡2(mod3)a6(s+1)+6≡a6s+12≡a26s+11+(6s+12)(6s+14)≡22+0⋅2≡1(mod3)
よって成立する
(i)(ii)より
{a6k+1≡1(mod3)a6k+2≡0(mod3)a6k+3≡0(mod3)a6k+4≡0(mod3)a6k+5≡2(mod3)a6k+6≡1(mod3)
したがって
a2022≡a6⋅337≡1(mod3)
(2)解答:最大公約数
a2022,a2023,a2024 の最大公約数をdとする
an+1=a2n+n(n+2)
を変形して
an+1−a2n=n(n+2)
n=2023,2022 を代入して
a2024−a22023=2023⋅2025・・・①
a2023−a22022=2022⋅2024・・・②
①②ともに左辺は、dを因数にもつ(dで割り切れる)
また、①②の右辺を考えて
①・・・2023⋅2025=(7⋅172)(34⋅52)=34⋅52⋅7⋅172②・・・2022⋅2024=(2⋅3⋅337)(23⋅11⋅23)=24⋅3⋅11⋅23⋅337
①②の共通の素因数は「3」のみである。
したがって、dの候補は「1」か「3」となる
(1)より a2022 は「3」で割り切れないことから
d=1
補足
合同式(mod)は「あまりに着目した等式」です。合同式を利用すると、整数問題は効率よく問題を解くことができます。以下の記事を参考にしてください。
整数問題(2022・東京大学・理科)は以下の記事で解説しています。
まとめ:整数問題(2022・東京大学・文科)
整数問題(2022・東京大学・文科)の解説まとめは以下の通り。
- 3で割ったあまり(mod3)を考えると、周期性がある
- 数学的帰納法で、an(mod3)を求める
- 「素因数分解」して候補をしぼる
以上で、整数問題(2022・東京大学・文科)の解説を終わります。
少しでも勉強の参考になれば幸いです。それではまた。
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