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【整数問題】a_1=4 , a_(n+1)=a_n^2+n(n+2)のとき、a_2022 , a_2023 , a_2024 の最大公約数を求めよ。(2022・東京大学・文科)

整数

今回、整数問題(2022・東京大学・文科)の解説をします。

この記事を読むと

  • 整数問題(2022・東京大学・文科)の解法
  • 合同式を利用した解法
  • 整数問題の「数学的帰納法」の利用方法
  • 最大公約数の利用方法

について理解できます。

この記事は「わか」が執筆しています。

私「わか」(https://twitter.com/wakkachan2019)は、国立大学数学科を卒業後、数学教育に10年以上関わっています。

問題:整数問題(2022・東京大学・文科)

問題

数列anを次のように定める。

a1=4,an+1=a2n+n(n+2) (n=1,2,3,)

(1) a2022 を3で割った余りを求めよ。

(2) a2022,a2023,a2024 の最大公約数を求めよ。

解説:整数問題(2022・東京大学・文科)

実験(とりあえずa1,a2,a3を求める)

実験

a1=4

a2=42+24=24

a3=242+35=584

これ以上は大きくなってしまって、計算が大変そうです。

実験(an(mod3)を具体的に求める)

実験

「3で割ったあまり(mod3)」に注目して考えます。

a141(mod3)

a212+2490(mod3)

a302+35150(mod3)

a402+46240(mod3)

a502+57352(mod3)

a622+68521(mod3)

a712+79641(mod3)

a812+810810(mod3)

a2a8の仕組みが「12+(3の倍数以外の積) 」で同じことに気づくと

この後同様に繰り返すと予想できます。

つまり

3で割ったあまりは 1、0、0、0、2、1 の繰り返し

と予想します。

(1)解答:数学的帰納法利用

(1)解答

k=0,1,2,3 として

{a6k+11(mod3)a6k+20(mod3)a6k+30(mod3)a6k+40(mod3)a6k+52(mod3)a6k+61(mod3)

を数学的帰納法を使って示す

(i)k=0 のとき

a141(mod3)

a212+2490(mod3)

a302+35150(mod3)

a402+46240(mod3)

a502+57352(mod3)

a622+68521(mod3)

よって成立する

(ii)k=s のとき成立すると仮定する

{a6s+11(mod3)a6s+20(mod3)a6s+30(mod3)a6s+40(mod3)a6s+52(mod3)a6s+61(mod3)

k=s+1 のとき

a6(s+1)+1a6s+7a26s+6+(6s+7)(6s+9)12+101(mod3)a6(s+1)+2a6s+8a26s+7+(6s+8)(6s+10)12+210(mod3)a6(s+1)+3a6s+9a26s+8+(6s+9)(6s+11)02+020(mod3)a6(s+1)+4a6s+10a26s+9+(6s+10)(6s+12)02+100(mod3)a6(s+1)+5a6s+11a26s+10+(6s+11)(6s+13)02+212(mod3)a6(s+1)+6a6s+12a26s+11+(6s+12)(6s+14)22+021(mod3)

よって成立する

(i)(ii)より 

{a6k+11(mod3)a6k+20(mod3)a6k+30(mod3)a6k+40(mod3)a6k+52(mod3)a6k+61(mod3)

したがって

a2022a63371(mod3)

(2)解答:最大公約数

(2)解答

a2022,a2023,a2024 の最大公約数をdとする

an+1=a2n+n(n+2)

を変形して

an+1a2n=n(n+2)

n=2023,2022 を代入して

a2024a22023=20232025

a2023a22022=20222024

①②ともに左辺は、dを因数にもつ(dで割り切れる)

また、①②の右辺を考えて

20232025=(7172)(3452)=3452717220222024=(23337)(231123)=2431123337

①②の共通の素因数は「3」のみである。

したがって、dの候補は「1」か「3」となる

(1)より a2022 は「3」で割り切れないことから

d=1

補足

合同式(mod)は「あまりに着目した等式」です。合同式を利用すると、整数問題は効率よく問題を解くことができます。以下の記事を参考にしてください。

整数問題(2022・東京大学・理科)は以下の記事で解説しています。

まとめ:整数問題(2022・東京大学・文科)

整数問題(2022・東京大学・文科)の解説まとめは以下の通り。

  • 3で割ったあまり(mod3)を考えると、周期性がある
  • 数学的帰納法で、an(mod3)を求める
  • 「素因数分解」して候補をしぼる

以上で、整数問題(2022・東京大学・文科)の解説を終わります。

少しでも勉強の参考になれば幸いです。それではまた。

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