0.999…＝1って聞いたけど、これって本当？
1には少し足りないと思うけど、、、
こんな疑問を持った人に向けて、「0.999…＝１」が正しいかについて今回は解説していきます。
結論
まず、結論から言います。
0.999…＝１は数学的に正しい
いきなり結論を言われても、すぐには納得できませんね。
よくある証明を使って、この結論を導いていきます。
よくある証明①（1/3=0.333…利用）
$$\frac{1}{3}=0.333\cdots$$
です。この両辺を３倍すると
$$\frac{1}{3}\times3=0.333\cdots\times3$$
$$1=0.999\cdots$$
（証明終わり）
これは、小学生でも理解できるかもしれません。
しかし、少し曖昧な部分もあります。
$$0.333\cdots\times3=0.999\cdots$$
は本当に正しいのか
というところです。無限小数の掛け算は実は小中学校ではきちんと習っていません。そのため、本当にこの計算が正しいか曖昧というわけです。
それでは、他のよくある証明もみていきましょう。
よくある証明②（小数を分数に直す方法を利用）
$$x=0.999\cdots・・・①$$
とおく。両辺10倍すると
$$10x=9.999\cdots・・・②$$
②の式から、①の式を引いて
\begin{array}{c|cc} &10x&=&9.999\cdots \\ -&x&=&0.999\cdots \\ \hline &9x&=&9 \end{array}
よって\(x=1\)なので、
$$x=0.999\cdots=1$$
（証明終わり）
気持ちよく証明できましたね。しかし、この証明も、「よくある証明①」と同様に曖昧な部分があります。
$$0.999\cdots\times10=9.999\cdots$$
は正しいのか。
結局無限小数の掛け算が出てきてしまうわけです。
この問題がモヤモヤする理由
さて、この曖昧な部分に焦点を当てていくとこの問題がモヤモヤする理由（直感的に正しいか納得がいかない理由）がわかってきます。つまりココです。
\(0.999\cdots\)の「\(\cdots\)」の部分がどうなっているか分からない。
「９が無限に続いて出てくる」ってどういうふうに考えればいいんだろう。
これを整理していかなくては、なかなか理解できないのです。
この無限に続いているということを考えるには、数学Ⅲで習う極限の知識が必要になってきます。
極限を使って０.９９９…を表す
$$0.999\cdots=\frac{9}{10}+\frac{9}{100}+\frac{9}{1000}+\cdots=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n9(\frac{1}{10})^k$$
初項\(\frac{9}{10}\)、公比\(\frac{1}{10}\)の無限等比級数です。
これならばきちんと定義できているし、計算もできるわけです。それでは、証明してみましょう。
よくある証明③（無限等比級数を利用）
\(\require{cancel}\)
$$0.999\cdots=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n9(\frac{1}{10})^k$$
$$=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n9(\frac{1}{10})^k$$
等比数列の和の公式を利用して、
$$=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{9}{10}(1-(\frac{1}{10})^n)}{1-\frac{1}{10}}$$
$$=\lim_{n\to\infty}\frac{\cancel{\frac{9}{10}}(1-(\frac{1}{10})^n)}{\cancel{\frac{9}{10}}}$$
ここで、\(\displaystyle{\lim_{n\to\infty}(\frac{1}{10})^n=0}\)より
$$=\lim_{n\to\infty}(1-(\frac{1}{10})^n)=1$$
（証明終わり）
さあこの証明は、きちんと定義をした上で、曖昧な部分がなく証明できました。
「0.999…＝１」となりました。
この問題に関して難しいのは、極限の定義、理解が必要だったからです。そこが曖昧なまま理解するのは難しいでしょう。
今回の証明に、一番大切な部分はこれです。
\(\displaystyle{\lim_{n\to\infty}(\frac{1}{10})^n=0}\)
nを無限大したときには、「０」になるという無限に対する考え方を理解する必要があるわけです。
まとめ
- 0.999…＝１は正しい
- 0.999…の「無限に続く」というところが難しいポイント
- 理解するには、極限の知識が必要
- 0.999…を無限等比級数ととらえることで、正確な証明が可能
さて今回は、「0.999…＝１」について考えました。なかなか面白い内容だと思います。では、「無限とはなんだろう」と考え、これを式で表すことに関しては、大学の内容となります。また紹介できればと思います。
以上で解説を終わります。少しでも参考になれば幸いです。
コメント