【数学オリンピック】x^3+3367=2^nを満たす自然数を求めよ【整数問題】

①　\(n=3k\) のとき

$$x^3+7\times13\times17=2^{3k}$$

$$x^3+7\times13\times17=8^{k}$$

ここで７で割ったあまりに注目して考える

$$x^3+0\equiv1^{k}\pmod7$$

$$x^3\equiv1\pmod7$$

②　\(n=3k+1\) のとき

$$x^3+7\times13\times17=2^{3k+1}$$

$$x^3+7\times13\times17=2\cdot8^{k}$$

ここで７で割ったあまりに注目して考える

$$x^3+0\equiv2\cdots1^{k}\pmod7$$

$$x^3\equiv2\pmod7$$

③　\(n=3k+2\) のとき

$$x^3+7\times13\times17=2^{3k+2}$$

$$x^3+7\times13\times17=4\cdot8^{k}$$

ここで７で割ったあまりに注目して考える

$$x^3+0\equiv4\cdots1^{k}\pmod7$$

$$x^3\equiv4\pmod7$$

ここで\(x^3\pmod7\)を考える

\begin{array}{|c|c|c|} \hline x &1&2&3&4&5&6&7&\cdots \\ \hline x^3 & 1 &8 &27&64&125&216&343&\cdots \\ \hline x^3\pmod7 &1&1&-1&1&-1&-1&0&繰り返し\\\hline \end{array}

よって\(x^3\equiv1,0,-1\pmod{7}\)

以下に注意して

「\((Y-x)^2=Y^2-2Yx+x^2\)」→「\(3Yx\)」大きい→「\(Y^2+Yx+x^2\)」

\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} Y-x=1 \\ Y^2+Yx+x^2=3367 \end{array} \right. \end{eqnarray}

これを解くと\((x,Y)=(33,34)\)

\(2^k=34\)を満たす整数kはないので　不適

\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} Y-x=7 \\ Y^2+Yx+x^2=481 \end{array} \right. \end{eqnarray}

これを解くと\((x,Y)=(9,16)\)

\(2^k=16\)より \(k=4\)

したがって \((x,n)=(9,12)\)

\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} Y-x=13 \\ Y^2+Yx+x^2=319 \end{array} \right. \end{eqnarray}

これを解くと\((x,Y)=(2,15)\)

\(2^k=15\)を満たす整数kはないので　不適