【整数問題】奇数l,m,n l+m+n=99を満たす正の整数の組の個数(2022・東北大)【組分け問題】

場合の数と確率

今回は、「整数問題(2022・東北大)」の解説です。

この記事を読むと

  • 整数問題(2022・東北大)の解法
  • 「x+y+z=○ の整数解の個数」 と 「組分け問題」の読み替え
  • 整数問題の実験の重要性

について理解することができます。

この記事は、「わか」が執筆しています。

私「わか」(https://twitter.com/wakkachan2019)は、国立大学数学科を卒業後、数学教育に10年以上関わっています。

問題:整数問題(2022・東北大)

問題

Kを3より大きな奇数とし、\(l+m+n=K\) を満たす正の奇数の組 \((l,m,n)\) の個数Nを考える。ただし、例えば、\(K=5\)のとき、\((l,m,n)=(1,1,3)\)と\((l,m,n)=(1,3,1)\)とは異なる組とみなす。

(1)\(K=99\) のとき、Nを求めよ。

(2)\(K=99\) のとき、\(l,m,n\) の中に同じ奇数を2つ以上含む\((l,m,n)\) の個数を求めよ。

(3)\(N>K\) を満たす最小のKを求めよ。

解説:整数問題(2022・東北大)

とりあえず実験

実験

\(K=3\)のとき \(l+m+n=3\)

\((l,m,n)=(1,1,1) \rightarrow  N=1\) 通り

\(K=5\)のとき \(l+m+n=5\)

\begin{eqnarray} (l,m,n) &=& (1,1,3) \\ &&(1,3,1)\\ &&(3,1,1)\end{eqnarray}

\(\rightarrow N=3\) 通り

\(K=7\)のとき \(l+m+n=7\)

\begin{eqnarray} (l,m,n) &=& (1,1,5) \times3\\ &&(1,3,3)\times3\end{eqnarray}

\(\rightarrow N=6\) 通り

\(K=9\)のとき \(l+m+n=9\)

\begin{eqnarray} (l,m,n) &=& (1,1,7) \times3\\ &&(1,3,5)\times6\\&&(3,3,3)\times1\end{eqnarray}

\(\rightarrow N=10\) 通り

(1)解説:奇数の組の個数N

(1)解説

\(K=99\) のとき

$$l+m+n=99・・・①$$

\(l,m,n\) は奇数なので

\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} l&=&2a+1&(a=0,1,2,\cdots) \\ m&=&2b+1&(b=0,1,2,\cdots) \\n&=&2c+1&(c=0,1,2,\cdots) \end{array} \right. \end{eqnarray}

とおける

①は次のように変形できる

$$(2a+1)+(2b+1)+(2c+1)=99$$

$$2a+2b+2c=96$$

$$a+b+c=48・・・❶$$

これを満たす、非負整数 \(a,b,c\) の組の個数を求めればよい

これは、

「区別のつかない48個のボールを、区別のつく3つのグループに分ける組分けの個数」

と等しい

48個のボールと2本の仕切りを考えて

$$\underbrace{〇 〇 \cdots\cdots ○ ○}_{48個} | | $$

この並び変えの個数を考えればよい

$$N=_{50}C_2=\frac{50\cdot49}{2\cdot1}=1225$$

補足:組分け問題について

組分け問題に関しては、以下の記事で解説しているので参考にしてください。

(2)解説:同じ数を2つ以上含む場合

(2)解説

(1)のときと同様に

$$a+b+c=48・・・❶$$

を満たす \(a,b,c\) の中に同じ非負整数が2つ以上ある組の個数を考えればよい

\begin{eqnarray} (a,b,c) &=& (0,0,48)&\times3\\ &&(1,1,46)&\times3\\&&(2,2,44)&\times3\\&&\cdots\\&&(15,15,18)&\times3\\&&\color{blue}{(16,16,16)}&\color{blue}{\times1}\\&&(17,17,14)&\times3\\&&\cdots\\&&(24,24,0)&\times3\end{eqnarray}

よって \(24\times3+1=73\)

(3)解説:N>Kの最小のK

(3)解説

Kの最小は「3」である

\(K=3,5,7,9\cdots\) と試して、\(N>K\) となるときを調べる

実験から、\(K=9\)のとき初めて\(N>K\)となるので、

\(N>K\) を満たす最小のKは「9」

他大学の整数問題

他の大学の整数問題の解説もしています。ぜひご覧ください。

まとめ:整数問題(2022・東北大)

「整数問題(2022・東北大)」の解説まとめは以下の通りです。

  • 「奇数という条件」を文字でおくことで、式変形をして、「整数の条件」に置き換える
  • a+b+c=○ の整数の組は、「同じものを、異なるグループに分ける組分け」と考えることができる
  • 整数問題は、実験することが大切

「整数問題(2022・東北大)」の解説は以上で終わります。

少しでも勉強の参考になれば幸いです。それではまた。

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