【整数問題】奇数l,m,n　l+m+n=99を満たす正の整数の組の個数（２０２２・東北大）【組分け問題】

今回は、「整数問題（２０２２・東北大）」の解説です。

この記事を読むと

整数問題（２０２２・東北大）の解法
「x+y+z=○ の整数解の個数」　と　「組分け問題」の読み替え
整数問題の実験の重要性

について理解することができます。

この記事は、「わか」が執筆しています。

私「わか」（https://twitter.com/wakkachan2019）は、国立大学数学科を卒業後、数学教育に10年以上関わっています。

問題：整数問題（２０２２・東北大）
解説：整数問題（２０２２・東北大）
他大学の整数問題
まとめ：整数問題（２０２２・東北大）

問題：整数問題（２０２２・東北大）

問題

Kを３より大きな奇数とし、$l+m+n=K$ を満たす正の奇数の組 $(l,m,n)$ の個数Nを考える。ただし、例えば、$K=5$のとき、$(l,m,n)=(1,1,3)$と$(l,m,n)=(1,3,1)$とは異なる組とみなす。

（１）$K=99$ のとき、Nを求めよ。

（２）$K=99$ のとき、$l,m,n$ の中に同じ奇数を２つ以上含む$(l,m,n)$ の個数を求めよ。

（３）$N>K$ を満たす最小のKを求めよ。

解説：整数問題（２０２２・東北大）

とりあえず実験

実験

$K=3$のとき　$l+m+n=3$

$(l,m,n)=(1,1,1)　\rightarrow　 N=1$　通り

$K=5$のとき　$l+m+n=5$

\begin{eqnarray} (l,m,n) &=& (1,1,3) \\ &&(1,3,1)\\ &&(3,1,1)\end{eqnarray}

$\rightarrow　N=3$　通り

$K=7$のとき　$l+m+n=7$

\begin{eqnarray} (l,m,n) &=& (1,1,5) \times3\\ &&(1,3,3)\times3\end{eqnarray}

$\rightarrow　N=6$　通り

$K=9$のとき　$l+m+n=9$

\begin{eqnarray} (l,m,n) &=& (1,1,7) \times3\\ &&(1,3,5)\times6\\&&(3,3,3)\times1\end{eqnarray}

$\rightarrow　N=10$　通り

（１）解説：奇数の組の個数N

（１）解説

$K=99$ のとき

$$l+m+n=99・・・①$$

$l,m,n$ は奇数なので

\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} l&=&2a+1&(a=0,1,2,\cdots) \\ m&=&2b+1&(b=0,1,2,\cdots) \\n&=&2c+1&(c=0,1,2,\cdots) \end{array} \right. \end{eqnarray}

とおける

①は次のように変形できる

$$(2a+1)+(2b+1)+(2c+1)=99$$

$$2a+2b+2c=96$$

$$a+b+c=48・・・❶$$

これを満たす、非負整数 $a,b,c$ の組の個数を求めればよい

これは、

「区別のつかない４８個のボールを、区別のつく３つのグループに分ける組分けの個数」

と等しい

４８個のボールと2本の仕切りを考えて

$$\underbrace{〇　〇　\cdots\cdots　○　○}_{48個}　|　|　$$

この並び変えの個数を考えればよい

$$N=_{50}C_2=\frac{50\cdot49}{2\cdot1}=1225$$

補足：組分け問題について

組分け問題に関しては、以下の記事で解説しているので参考にしてください。

【場合の数】$\mathbf{x+y+z=10}$を満たす０以上の整数x、y、zの組の総数を求めよ【組分け問題】

今回は、組分け問題の応用例です。この問題は、以前紹介した組分け問題と同じ考え方ができます。とても上手いやり方ですので、みていきましょう。組分け問題の記事を先に見ると一層理解が深まります。問題...

（２）解説：同じ数を２つ以上含む場合

（２）解説

（１）のときと同様に

$$a+b+c=48・・・❶$$

を満たす $a,b,c$ の中に同じ非負整数が２つ以上ある組の個数を考えればよい

\begin{eqnarray} (a,b,c) &=& (0,0,48)&\times3\\ &&(1,1,46)&\times3\\&&(2,2,44)&\times3\\&&\cdots\\&&(15,15,18)&\times3\\&&\color{blue}{(16,16,16)}&\color{blue}{\times1}\\&&(17,17,14)&\times3\\&&\cdots\\&&(24,24,0)&\times3\end{eqnarray}

よって　$24\times3+1=73$