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【基本】三角関数(sin,cos,tan)【前編】

方程式と関数

サイン、コサイン、タンジェントって何だったっけ、、、

そもそもよく分からない、、、

という方に向けて、今回は三角関数について初めから丁寧に解説します。

準備

三角関数を学ぶ前に、事前準備をします。

三平方の定理

三平方の定理

直角三角形において

a2+b2=c2

※斜辺がcであることに注意

三平方の定理を使えば、直角三角形の2辺がわかれば、残りの1辺の長さがわかります。

例題を見ていきましょう。

例題

右の図において

x2=32+42

x2=25

辺の長さなので、正の値となります。よって

x=5

※Cが斜辺になることに気をつけてください。

三平方の定理は、数学者ピタゴラスが発見した定理で、「ピタゴラスの定理」とも言われたりします。

有名な直角三角形の辺の比

小学生の時、使っていた2枚の三角定規ありました。

この2つの直角三角形の辺の長さの比は、覚えておくと便利です。

これは辺の長さではなく、比であるということに注意してください。

1:2:3」「1:1:2」呪文のように唱えられるようにしましょう。

三角関数について

以上の準備を踏まえた上で、三角関数に入っていきます。

直角三角形による定義

sin cos tan 定義

sinθ=ac ()

cosθ=bc ()

tanθ=ab ()

それぞれ「サイン シータ」「コサイン シータ」「タンジェント シータ」と読みます。

sin、cos、tanは直角三角形の辺の長さを分数で表したもので、辺の長さの比を表している。

直角三角形は、3つの辺があるので、そこから2辺を選んでくると3セット選ぶことができます。それに名前をつけたということです。

相似な三角形は辺の長さの比が同じなので、sin、cos、tanもそれぞれ同じになります。

sin、cos、tanの値は、角度θによって決まります。

例題

定義に当てはめて、sin、cos、tanの値を求めてみよう。先ほどの三角定規の三角形を利用して考えます。

例題

sin30°=12

cos30°=32

tan30°=13

sin45°=12

cos45°=12

tan45°=1

sin60°=32

cos60°=12

tan60°=3

これらは、値がきれいになるもので、有名な角度の三角比の値となります。

その他の三角比の値もおおよその値をまとめた表があります。たいてい数学Ⅰの教科書には最後のページに付属しています。表を見れば、三角比の値がわかります。次のサイトを参考にしてください。

http://emath.s40.xrea.com/ydir/Wiki/index.php?%BB%B0%B3%D1%B4%D8%BF%F4%C9%BD

三角比の利用

この三角比、何が便利なのかについてです。以下の問題を通じて考えましょう。

例題

図のタワーの高さxを求めよ。少数第1位を切り捨てて答えよ。

tan62°=x160

表を確認するとtan62°は約1.8807と分かるので、

1.8807=x160

x=1.8807×160=300.912

よって 高さは300m

1つの辺と角度のみで、他の辺の長さが分かります。sinやcosを利用することで他の辺を求めるなど応用することができます。

三角関数について、前半はここまでとします。

まとめ

  1. 三角関数sin、cos、tanとは直角三角形の辺の長さの比を表したもの
  2. sin、cos、tanは角度によって値が決まる
  3. 三角関数を利用することで、辺の長さや角度などを求めることができる

三角関数について前半はここまで、後編は次回に続きます。

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