【確率】入試問題（2021・弘前大学）

余事象を考える

積が３の倍数にならないのは、

$$1,2,4,5,7,8,10,11,13,14,16$$

の11枚から３枚選ぶときである。

従って、積が３の倍数になるのは、

$$1-\frac{_{11}C_3}{_{16}C_3}$$

$$=1-\frac{11\cdot10\cdot9}{16\cdot15\cdot14}$$

$$=1-\frac{11\cdot3}{16\cdot7}$$

$$=\frac{97}{112}$$

1~16の数を３で割ったときのあまりで分類すると以下の３パターンに分けることができる。

①（あまりが０）　3,6,9,12,15

②（あまりが１）　1,4,7,10,13,16

③（あまりが２）　2,5,8,11,14

選んだ３枚の数字の和が３の倍数となるのは、

①から３枚３選んだとき、②から３枚選んだとき、③から３枚選んだとき、①②③からそれぞれ１枚選んだとき、である。

よって

$$\frac{_5C_3+_6C_3+_5C_3+5\cdot6\cdot5}{_{16}C_3}$$

$$=\frac{10+20+10+150}{560}$$

$$=\frac{190}{560}$$

$$=\frac{19}{56}$$

３枚の和も積も３の倍数とならないのは、

②から２枚、③から１枚選ぶとき

②から１枚、③から２枚選ぶとき　である

よって

$$\frac{_6C_2\cdot5+6\cdot_5C_2}{_{16}C_3}$$

$$=\frac{75+60}{560}$$

$$=\frac{135}{560}$$

$$=\frac{27}{112}$$