【確率】入試問題(2021・弘前大学)

場合の数と確率

今回は、弘前大学の入試問題の解説です。

それではみていきましょう。

問題

問題

$$1,2,\cdots,15,16$$

の数字が書かれたカードがそれぞれ1枚ずつある。これら16枚のカードから3枚を同時に選ぶとき、次の問いに答えよ。

(1)3枚のカードの数の積が3の倍数である確率を求めよ。

(2)3枚のカードの数の我が3の倍数である確率を求めよ。

(3)3枚のカードの積が3の倍数でなく、3枚のカードの数の和も3の倍数でない確率を求めよ。

解説

16枚から3枚のカードを選ぶ選び方は

$$_{16}C_3$$

通りである。

(1)解説

3の倍数となるのは、少なくとも1枚3の倍数であれば良い。

(1)解答

余事象を考える

積が3の倍数にならないのは、

$$1,2,4,5,7,8,10,11,13,14,16$$

の11枚から3枚選ぶときである。

従って、積が3の倍数になるのは、

$$1-\frac{_{11}C_3}{_{16}C_3}$$

$$=1-\frac{11\cdot10\cdot9}{16\cdot15\cdot14}$$

$$=1-\frac{11\cdot3}{16\cdot7}$$

$$=\frac{97}{112}$$

(2)解説

和が3の倍数になる時を考えるので、3で割ったときのあまりに注目する。

(2)解答

1~16の数を3で割ったときのあまりで分類すると以下の3パターンに分けることができる。

①(あまりが0) 3,6,9,12,15

②(あまりが1) 1,4,7,10,13,16

③(あまりが2) 2,5,8,11,14

選んだ3枚の数字の和が3の倍数となるのは、

①から3枚3選んだとき、②から3枚選んだとき、③から3枚選んだとき、①②③からそれぞれ1枚選んだとき、である。

よって

$$\frac{_5C_3+_6C_3+_5C_3+5\cdot6\cdot5}{_{16}C_3}$$

$$=\frac{10+20+10+150}{560}$$

$$=\frac{190}{560}$$

$$=\frac{19}{56}$$

(3)解説

積が3の倍数にはならないので、

(2)の①から選んではいけない。

②、③から和が3の倍数にならないように3枚選べばよい

(3)解答

3枚の和も積も3の倍数とならないのは、

②から2枚、③から1枚選ぶとき

②から1枚、③から2枚選ぶとき である

よって

$$\frac{_6C_2\cdot5+6\cdot_5C_2}{_{16}C_3}$$

$$=\frac{75+60}{560}$$

$$=\frac{135}{560}$$

$$=\frac{27}{112}$$

以上で解説終わります。

少しでも参考になれば幸いです。

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