今回は、弘前大学の入試問題の解説です。
それではみていきましょう。
問題
$$1,2,\cdots,15,16$$
の数字が書かれたカードがそれぞれ１枚ずつある。これら16枚のカードから３枚を同時に選ぶとき、次の問いに答えよ。
（１）３枚のカードの数の積が３の倍数である確率を求めよ。
（２）３枚のカードの数の我が３の倍数である確率を求めよ。
（３）３枚のカードの積が３の倍数でなく、３枚のカードの数の和も３の倍数でない確率を求めよ。
解説
１６枚から３枚のカードを選ぶ選び方は
$$_{16}C_3$$
通りである。
（１）解説
3の倍数となるのは、少なくとも１枚３の倍数であれば良い。
余事象を考える
積が３の倍数にならないのは、
$$1,2,4,5,7,8,10,11,13,14,16$$
の11枚から３枚選ぶときである。
従って、積が３の倍数になるのは、
$$1-\frac{_{11}C_3}{_{16}C_3}$$
$$=1-\frac{11\cdot10\cdot9}{16\cdot15\cdot14}$$
$$=1-\frac{11\cdot3}{16\cdot7}$$
$$=\frac{97}{112}$$
（２）解説
和が３の倍数になる時を考えるので、３で割ったときのあまりに注目する。
1~16の数を３で割ったときのあまりで分類すると以下の３パターンに分けることができる。
①（あまりが０） 3,6,9,12,15
②（あまりが１） 1,4,7,10,13,16
③（あまりが２） 2,5,8,11,14
選んだ３枚の数字の和が３の倍数となるのは、
①から３枚３選んだとき、②から３枚選んだとき、③から３枚選んだとき、①②③からそれぞれ１枚選んだとき、である。
よって
$$\frac{_5C_3+_6C_3+_5C_3+5\cdot6\cdot5}{_{16}C_3}$$
$$=\frac{10+20+10+150}{560}$$
$$=\frac{190}{560}$$
$$=\frac{19}{56}$$
（３）解説
積が３の倍数にはならないので、
（２）の①から選んではいけない。
②、③から和が３の倍数にならないように３枚選べばよい
３枚の和も積も３の倍数とならないのは、
②から２枚、③から１枚選ぶとき
②から１枚、③から２枚選ぶとき である
よって
$$\frac{_6C_2\cdot5+6\cdot_5C_2}{_{16}C_3}$$
$$=\frac{75+60}{560}$$
$$=\frac{135}{560}$$
$$=\frac{27}{112}$$
以上で解説終わります。
少しでも参考になれば幸いです。
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