組分け問題の「空箱があってはいけない」問題について解説したいと思います。
以前、組分け問題の「空箱があってもよい」場合のときの解説をしました。まだ未読の場合は、先にそちらを確認して下さい。
それでは、次の問題で確認していきましょう。
問題
６個の玉を３つの箱に入れるする。以下のような場合に、入れ方は何通りあるか求めよ。ただし、空箱があってはいけないものとする。
（１）玉も箱も区別する
（２）玉も箱も区別しない
（３）玉は区別するが箱は区別しない
（４）玉は区別しないが箱は区別する
（１）玉も箱も区別する
玉１つ１つに、どの箱に入るのかインタビューする作戦ですね。
玉１、玉２、玉３、玉４、玉５、玉６を箱A、箱B、箱Cに組分けする。
空箱があってよい場合を考えると
玉それぞれについて箱A,、箱B、箱Cの３パターンがあるので
$$3\times3\times3\times3\times3\times3=729$$
ここから、空箱ができてしまう場合を除く。
空箱１つのとき
箱Cが空になる時を考える。
箱A、箱Bに分ける分け方は
$$2\times2\times2\times2\times2\times2=64$$
ここから、箱A、箱Bが空になってしまう２パターンを引いて
$$64-2=62$$
箱A、箱Bが空になる場合も同様にあるので
$$62\times3=186$$
空箱２つの時
全ての玉を、箱A入れる場合が１通り
全ての玉を、箱B入れる場合が１通り
全ての玉を、箱C入れる場合が１通り
以上の３通り
したがって
\(729-186-3=540\)通り。
（２）玉も箱も区別しない
具体的にパターンを考えるのが早いです。
区別のつかない玉６個を区別のつかない３つの箱に入れるのは以下の
$$(4,1,1)(3,2,1)(2,2,2)$$
の３通り。
（３）玉は区別するが箱は区別しない
（２）を利用します
（4,1,1）のとき
$$\frac{{}_{6}\mathrm{C}_{1}{}\times_{5}\mathrm{C}_{1}}{2!}$$
$$=15$$
（3,2,1）のとき
$${}_{6}\mathrm{C}_{1}{}\times_{5}\mathrm{C}_{2}$$
$$=60$$
（2,2,2）のとき
$$\frac{{}_{6}\mathrm{C}_{2}{}\times_{4}\mathrm{C}_{2}}{3!}$$
$$=15$$
したがって
\(15+60+15=90\)通り。
（４）玉は区別しないが箱は区別する
これは上手いやり方がありましたね！ぜひ活用してみて下さい。
〇 〇 〇 〇 〇 〇 ｜ ｜
前回玉６個と仕切り棒２本の並び変えと対応させて求めました。
しかし、このやり方では空の箱ができてしまいます。
そこで一工夫加えます。
元々３つの箱に１つずつ玉を入れておくのです。
そして残りの３個の玉を３個の箱にいれる場合の数を同様の方法で求めれば良いのです。
残りの玉３個と仕切り棒２本の並び替えを考えて
〇 〇 〇 ｜ ｜
\({}_{5}\mathrm{C}_{2}=10\) 通り
まとめ
今回は「空箱があってはいけない」場合の組分け方法でした。
ポイントは以下の点です。
- 組分けの際、空箱となってもよいかチェックする
- 空箱ができても良い場合をベースに考えていく
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