【場合の数】組分け問題〜空箱があってはいけない問題〜

場合の数と確率

組分け問題の「空箱があってはいけない」問題について解説したいと思います。

以前、組分け問題の「空箱があってもよい」場合のときの解説をしました。まだ未読の場合は、先にそちらを確認して下さい。

それでは、次の問題で確認していきましょう。

問題

6個の玉を3つの箱に入れるする。以下のような場合に、入れ方は何通りあるか求めよ。ただし、空箱があってはいけないものとする。

(1)玉も箱も区別する

(2)玉も箱も区別しない

(3)玉は区別するが箱は区別しない

(4)玉は区別しないが箱は区別する

(1)玉も箱も区別する

玉1つ1つに、どの箱に入るのかインタビューする作戦ですね。

玉1、玉2、玉3、玉4、玉5、玉6を箱A、箱B、箱Cに組分けする。

空箱があってよい場合を考えると

玉それぞれについて箱A,、箱B、箱Cの3パターンがあるので

$$3\times3\times3\times3\times3\times3=729$$

ここから、空箱ができてしまう場合を除く。

空箱1つのとき

箱Cが空になる時を考える。

箱A、箱Bに分ける分け方は

$$2\times2\times2\times2\times2\times2=64$$

ここから、箱A、箱Bが空になってしまう2パターンを引いて

$$64-2=62$$

箱A、箱Bが空になる場合も同様にあるので

$$62\times3=186$$

空箱2つの時

全ての玉を、箱A入れる場合が1通り

全ての玉を、箱B入れる場合が1通り

全ての玉を、箱C入れる場合が1通り

以上の3通り

したがって

\(729-186-3=540\)通り。

(2)玉も箱も区別しない

具体的にパターンを考えるのが早いです。

区別のつかない玉6個を区別のつかない3つの箱に入れるのは以下の

$$(4,1,1)(3,2,1)(2,2,2)$$

の3通り。

(3)玉は区別するが箱は区別しない

(2)を利用します

(4,1,1)のとき

$$\frac{{}_{6}\mathrm{C}_{1}{}\times_{5}\mathrm{C}_{1}}{2!}$$

$$=15$$

(3,2,1)のとき

$${}_{6}\mathrm{C}_{1}{}\times_{5}\mathrm{C}_{2}$$

$$=60$$

(2,2,2)のとき

$$\frac{{}_{6}\mathrm{C}_{2}{}\times_{4}\mathrm{C}_{2}}{3!}$$

$$=15$$

したがって

\(15+60+15=90\)通り。

(4)玉は区別しないが箱は区別する

これは上手いやり方がありましたね!ぜひ活用してみて下さい。

〇 〇 〇 〇 〇 〇 | |

前回玉6個と仕切り棒2本の並び変えと対応させて求めました。

しかし、このやり方では空の箱ができてしまいます。

そこで一工夫加えます。

元々3つの箱に1つずつ玉を入れておくのです。

そして残りの3個の玉を3個の箱にいれる場合の数を同様の方法で求めれば良いのです。

残りの玉3個と仕切り棒2本の並び替えを考えて

〇 〇 〇 | |

\({}_{5}\mathrm{C}_{2}=10\) 通り

まとめ

今回は「空箱があってはいけない」場合の組分け方法でした。

ポイントは以下の点です。

  1. 組分けの際、空箱となってもよいかチェックする
  2. 空箱ができても良い場合をベースに考えていく

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