ジャンケンで人数が増えると、引き分けになることが増えるけど、
これってどんな確率なんだろう、、、
ジャンケンの確率について興味を持った方に数学的に確率を求める方法を解説します。入試問題などでもよく取り上げられるテーマですので、ぜひ確認してみてください。
ジャンケンの確率の重要ポイント
ジャンケンの確率を考える上で大切なことは、
誰が、どの手で、勝ったのか決めると、全員の手が決まる
ということです。これによって上手く数え上げていくことができます。
問題を見ていきましょう。
例題１（３人でジャンケン）
A,B,Cの３人で１回ジャンケンをする。
（１）２人が勝ち、１人が負ける確率を求めよ。
（２）引き分けになる確率を求めよ。
３人の手の出し方は、全部で \(3^3=27\) 通り。
（１）A,Bがグーで勝つ確率は \(\displaystyle{\frac{1}{27}}\)
A,B,Cの３人から勝つ２人を選ぶ選び方は \(_3C_2=3\) 通り。
グー、チョキ、パーからその手を決めるのは、３通り。
よって、\(\displaystyle{\frac{1}{27}\times3\times3=\frac{1}{3}}\)
（２）まず１人が勝つ確率を考える。
Aがグーで勝つ確率は \(\displaystyle{\frac{1}{27}}\)
A,B,Cの３人から勝つ１人を選ぶ選び方は \(_3C_１=3\) 通り。
グー、チョキ、パーからその手を決めるのは、３通り。
よって、\(\displaystyle{\frac{1}{27}\times3\times3=\frac{1}{3}}\)
（１）より２人が勝つ確率は、\(\displaystyle{\frac{1}{3}}\)
余事象を考えて
（引き分けの確率）＝１ー（１人が勝つ確率）ー（２人が勝つ確率）より
$$\displaystyle{1-\frac{1}{3}-\frac{1}{3}}$$
$$=\displaystyle{\frac{1}{3}}$$
あいこ（引き分け）は余事象を考えるとよいでしょう。
例題２（５人でジャンケン）
３人→５人になっても同様に考えられます。
A,B,C,D,Eの５人で１回ジャンケンをする。
（１）１人が勝ち、４人が負ける確率を求めよ。
（２）引き分けになる確率を求めよ。
３人の手の出し方は、全部で \(3^5=243\) 通り。
（１）Aがグーで勝つ確率は \(\displaystyle{\frac{1}{243}}\)
A,B,C,D,Eの5人から勝つ1人を選ぶ選び方は、５通り。
グー、チョキ、パーからその手を決めるのは、３通り。
よって、\(\displaystyle{\frac{1}{243}\times5\times3=\frac{5}{81}}\)
（２）（１）と同様に考えて
１人が勝つ確率は \(\displaystyle{\frac{1}{243}\times5\times3=\frac{5}{81}}\)
２人が勝つ確率は \(\displaystyle{\frac{1}{243}\times _5C_2\times3=\frac{10}{81}}\)
３人が勝つ確率は \(\displaystyle{\frac{1}{243}\times _5C_3\times3=\frac{10}{81}}\)
４人が勝つ確率は \(\displaystyle{\frac{1}{243}\times _5C_4\times3=\frac{5}{81}}\)
余事象を考えて
（引き分けの確率）＝（１人、２人、３人、４人が勝つ確率）
$$\displaystyle{1-\frac{5}{81}-\frac{10}{81}-\frac{10}{81}-\frac{5}{81}}$$
$$=\displaystyle{\frac{17}{27}}$$
（２）別解
勝負がつく場合を数える。
勝つ手が何かは３通り。
例えば勝つ手をグーとすると、１人がグーとチョキのどちらかを出すかは２通り。
５人では、\(2^5\)通りあるから、誰が勝つかは\(2^5-2\)通り（全員が同じ手になる場合を−２で除く）
よって、勝負がつくのは、\(3\times(2^5-2)=90\)
したがって、引き分けになるのは余事象を考えて
（引き分けになる確率）＝１ー（勝負がつく確率）
$$1-\frac{90}{243}=\frac{17}{27}$$
例題３（n人でジャンケン）
n人になっても同様に考えられます。
A,B,C,D,E,….のn人で１回ジャンケンをする。
（１）１人が勝つ確率を求めよ。
（２）引き分けになる確率を求めよ。
n人の手の出し方は、全部で \(3^n\) 通り。
（１）Aがグーで勝つ確率は \(\displaystyle{\frac{1}{3^n}}\)
A,B,C,D,E,……のn人から勝つ1人を選ぶ選び方は、n通り。
グー、チョキ、パーからその手を決めるのは、３通り。
よって、\(\displaystyle{\frac{1}{3^n}\times n\times3=\frac{n}{3^{n-1}}}\)
（２）（１）と同様に考えて
１人が勝つ確率は \(\displaystyle{\frac{1}{3^n}\times _nC_1\times3=\frac{n}{3^{n-1}}}\)
２人が勝つ確率は \(\displaystyle{\frac{1}{3^n}\times _nC_2\times3=\frac{_nC_2}{3^{n-1}}}\)
３人が勝つ確率は \(\displaystyle{\frac{1}{3^n}\times _nC_3\times3=\frac{_nC_3}{3^{n-1}}}\)
\(\cdots\)
n-1人が勝つ確率は \(\displaystyle{\frac{1}{3^n}\times _nC_{n-1}\times3=\frac{_nC_{n-1}}{3^{n-1}}}\)
余事象を考えて
（引き分けの確率）＝（１人、２人、３人、４人、….、(n-1)人が勝つ確率）
$$\displaystyle{1-(\frac{_nC_1}{3^{n-1}}+\frac{_nC_2}{3^{n-1}}+\frac{_nC_3}{3^{n-1}}+\cdots+\frac{_nC_n}{3^{n-1}})}$$
$$=\displaystyle{1-\frac{1}{3^{n-1}}(_nC_1+_nC_2+_nC_3+\cdots+_nC_{n-1})}$$
$$=\displaystyle{1-\frac{1}{3^{n-1}}(_nC_1+_nC_2+_nC_3+\cdots+_nC_{n-1})}$$
二項係数より ※補足参照
$$=\displaystyle{1-\frac{1}{3^{n-1}}((1+1)^2-2)}$$
$$=\displaystyle{1-\frac{2^n-2}{3^{n-1}}}$$
（２）別解
勝負がつく場合を数える。
勝つ手が何かは３通り。
例えば勝つ手をグーとすると、１人がグーとチョキのどちらかを出すかは２通り。
n人では、\(2^n\)通りあるから、誰が勝つかは\(2^n-2\)通り（全員が同じ手になる場合を−２で除く）
よって、勝負がつくのは、\(3\times(2^n-2)\)
したがって、引き分けになるのは余事象を考えて
（引き分けになる確率）＝１ー（勝負がつく確率）
$$1-\frac{3\times(2^n-2)}{3^n}=1-\frac{2^n-2}{3^{n-1}}$$
補足（二項係数）
ここでは、以下の事実を利用しています。
$$2^n=_nC_0+_nC_1+_nC_2+\cdots+_nC_n$$
二項定理より
$$(x+1)^n=_nC_0+x^n+_nC_1x^{n-1}+_nC_2x^{n-1}+\cdots+_nC_n$$
x＝１を代入して
$$2^n=_nC_0+_nC_1+_nC_2+\cdots+_nC_n$$
まとめ
- ジャンケンは「誰が」「どの手」で勝つかを考えると、全員の手が決まる
- 引き分け（あいこ）は余事象を考える
以上ジャンケンの確率について解説しました。
身近なものの確率を考えるのは、面白いことですね。
この記事が、皆様の参考になれば幸いです！
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