【剰余の定理】$x^{10}$ を $(x-1)^3$ で割った余り　

微分を利用した解法

$x^{10}$ を $(x-1)^3$ で割ったときの商を$Q(x)$とし、

余りは2次以下となるので$a(x-1)^2+b(x-1)+c$と表せる。

$x^{10}=(x-1)^3Q(x)+a(x-1)^2+b(x-1)+c$・・・①

$x=1$を代入すると

$1=c$が得られる。

両辺xで微分して

$10x^9=3(x-1)^2Q(x)+(x-1)^3Q'(x)+2a(x-1)+b$

$x=1$を代入すると

$10=b$が得られる。

両辺xで微分して

$90x^8=6(x-1)Q(x)+3(x-1)^2Q'(x)$

$+3(x-1)^2Q'(x)+(x-1)^3Q”(x)+2a$

$x=1$を代入すると

$90=2a$が得られる。よって$a=45$

以上より、余りは　$45(x-1)^2+10(x-1)+1$

これを整理して、　$45x^2-80x+36$

2項定理を利用した解法

$x^{10}=\{(x-1)+1\}^{10}$

2項定理を利用して展開すると

$(x-1)^{10}+{}_{10}\mathrm{C}_1(x-1)^9+{}_{10}\mathrm{C}_2(x-1)^8+$・・・

・・・$+{}_{10}\mathrm{C}_7(x-1)^3+{}_{10}\mathrm{C}_8(x-1)^2+{}_{10}\mathrm{C}_9(x-1)+1$

ここで$(x-1)^{10}$から$(x-1)^{3}$までの項は、$(x-1)^3$で割り切れるので

余りは ${}_{10}\mathrm{C}_8(x-1)^2+{}_{10}\mathrm{C}_9(x-1)+1$

これを整理すると　

$45(x-1)^2+10(x-1)+1=45x^2-80x+36$