【剰余の定理】\(x^{10}\) を \((x-1)^3\) で割った余り　

微分を利用した解法

\(x^{10}\) を \((x-1)^3\) で割ったときの商を\(Q(x)\)とし、

余りは2次以下となるので\(a(x-1)^2+b(x-1)+c\)と表せる。

\(x^{10}=(x-1)^3Q(x)+a(x-1)^2+b(x-1)+c\)・・・①

\(x=1\)を代入すると

\(1=c\)が得られる。

両辺xで微分して

\(10x^9=3(x-1)^2Q(x)+(x-1)^3Q'(x)+2a(x-1)+b\)

\(x=1\)を代入すると

\(10=b\)が得られる。

両辺xで微分して

\(90x^8=6(x-1)Q(x)+3(x-1)^2Q'(x)\)

\(+3(x-1)^2Q'(x)+(x-1)^3Q”(x)+2a\)

\(x=1\)を代入すると

\(90=2a\)が得られる。よって\(a=45\)

以上より、余りは　\(45(x-1)^2+10(x-1)+1\)

これを整理して、　\(45x^2-80x+36\)

2項定理を利用した解法

\(x^{10}=\{(x-1)+1\}^{10}\)

2項定理を利用して展開すると

\((x-1)^{10}+{}_{10}\mathrm{C}_1(x-1)^9+{}_{10}\mathrm{C}_2(x-1)^8+\)・・・

・・・\(+{}_{10}\mathrm{C}_7(x-1)^3+{}_{10}\mathrm{C}_8(x-1)^2+{}_{10}\mathrm{C}_9(x-1)+1\)

ここで\((x-1)^{10}\)から\((x-1)^{3}\)までの項は、\((x-1)^3\)で割り切れるので

余りは \({}_{10}\mathrm{C}_8(x-1)^2+{}_{10}\mathrm{C}_9(x-1)+1\)

これを整理すると　

\(45(x-1)^2+10(x-1)+1=45x^2-80x+36\)