【整数】互いに素について 

高校生A君
高校生A君

高校数学の証明に「互いに素」って出てくるけど、よく意味が分かってない、、、

そんな方のために、

  • 「互いに素」の定義
  • 「互いに素」の性質
  • 「互いに素」を利用した証明

について説明します。

「互いに素」の定義

互いに素の定義

整数p、qに対して

  1. 共通の素因数を持たない
  2. 最大公約数が1
  3. 公約数が1のみ

要するに、「2つの数字を割り切る数字は1以外ありません」ということです。

例えば、(5,9)や(8,15)などです。

(4,6)は2で割り切れますし、(9,15)は3で割り切れるので、「互いに素」ではありません。

「互いに素」の性質

互いに素の性質1

p、qが互いに素の時、\(\frac{q}{p}\) は既約分数

約分できる共通な素因数がないため、これ以上約分できません。(証明などで、有理数を表すときによく使います。)

互いに素の性質2

互いに素な2整数の積が平方数なら、2整数は共に平方数

2整数の共通の素因数がないことから、2整数の積が平方数なら、2整数を素因数分解すると、それぞれの素因数の偶数乗と表せます。よって2整数は共に平方数となります。

互いに素の性質3

pm , qn が互いに素の時、p ,qは互いに素

p ,q は共通の素因数を持たないので、お互い何乗しても共通の素因数を持つことはありません。

「互いに素」を利用した証明

\(\sqrt{2}\)が無理数である

これは大変有名な証明方法です。それでは見てみましょう。

証明 \(\sqrt{2}\)が有理数と仮定する。

\(\sqrt{2}=\frac{q}{p}\) とおく。ただし p , q は互いに素な整数とする。

両辺2乗して \(2=\frac{q^2}{p^2}\)

\(2p^2=q^2\) よって、\(q^2\)は2の倍数となるので、\(q\)も2の倍数。

\(q=2k\)とおくと、\(2p^2=4k^2\)となり、

\(p^2=2k^2\) よって、\(p^2\)は2の倍数となるので、\(p\)も2の倍数。

ここで、p , q は共に2の倍数となるが、これは p , q は互いに素に矛盾する。

したがって \(\sqrt{2}\)は無理数である

他にも、「互いに素」を利用した証明は数多く存在します。「互いに素」を利用して様々な証明問題に挑戦してみましょう。

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