【整数】互いに素について　

互いに素の定義

整数p、qに対して

1. 共通の素因数を持たない
2. 最大公約数が１
3. 公約数が１のみ

互いに素の性質1

p、qが互いに素の時、$\frac{q}{p}$ は既約分数

約分できる共通な素因数がないため、これ以上約分できません。（証明などで、有理数を表すときによく使います。）

互いに素の性質2

互いに素な２整数の積が平方数なら、２整数は共に平方数

２整数の共通の素因数がないことから、２整数の積が平方数なら、２整数を素因数分解すると、それぞれの素因数の偶数乗と表せます。よって２整数は共に平方数となります。

互いに素の性質3

p^m , qⁿ が互いに素の時、p ，qは互いに素

p　，q　は共通の素因数を持たないので、お互い何乗しても共通の素因数を持つことはありません。

$\sqrt{2}$が無理数である

証明　$\sqrt{2}$が有理数と仮定する。

$\sqrt{2}=\frac{q}{p}$ とおく。ただし p , q は互いに素な整数とする。

両辺２乗して　$2=\frac{q^2}{p^2}$

$2p^2=q^2$　よって、$q^2$は２の倍数となるので、$q$も２の倍数。

$q=2k$とおくと、$2p^2=4k^2$となり、

$p^2=2k^2$　よって、$p^2$は２の倍数となるので、$p$も２の倍数。

ここで、p , q は共に２の倍数となるが、これは p , q は互いに素に矛盾する。

したがって $\sqrt{2}$は無理数である