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【伝説の入試問題】自分で決めた好きな数が得点になる?【1995・京都大学】

整数

今回は伝説の入試問題シリーズです。

京都大学にとてもユニークな問題が出題されました。

ざっくり言うと「あなたの好きな数を一つ決めて、その値が得点となる」と言うものです。

ロマンあふれる問題ですね。

それでは、早速問題を詳しく見ていきましょう。

問題(1995・京都大学 後期)

問題

自然数nの関数f(n),g(n)

f(n)=nを7で割ったあまり

g(n)=3f(7k=1kn)

によって定める

(1)全ての自然数nに対してf(n7)=f(n)を示せ

(2)あなたの好きな自然数nを一つ決めてg(n)を求めよ

そのg(n)の値をこの設問におけるあなたの得点とする

本当に「好きな自然数を一つ決めて、その値によって自分の得点が決まる」ようですね。

しかし、よく見ると好きな自然数nを決めて、それを代入したg(n)が得点となるようです。きっとここに出題者の意図が隠されているのでしょう。

それでは解説です。

(1)解説

方針

方針

少し大変ですが、

① nを7で割った時のあまりの7パターンで場合わけ

②「n7」2項定理を使って展開して、7で割ったあまりが等しいことを示す

解法1

解法

(1)「nを7で割ったあまり」と「n7を7で割ったあまり」が等しいことを示せばよい

整数kに対して

① n=7kのとき 

nを7で割った余りは0

n7=(7k)7

n7を7で割った余りは0

② n=7k+1のとき

nを7で割った余りは1

n7=(7k+1)7

=(7k)7+7C1(7k)61++7C6(7k)1167+17

=(7k)7+7C1(7k)61++7C6(7k)1167+1

n7を7で割った余りは1

③ n=7k1のとき

nを7で割った余りは−1

n7=(7k1)7

=(7k)7+7C1(7k)6(1)++7C6(7k)1(1)67+(1)7

=(7k)7+7C1(7k)6(1)++7C6(7k)1(1)671

n7を7で割った余りは−1

④ n=7k+2のとき

nを2で割った余りは2

n7=(7k+2)7

=(7k)7+7C1(7k)62++7C6(7k)1267+27128

=(7k)7+7C1(7k)62++7C6(7k)126+7×187+2

n7を2で割った余りは2

⑤ n=7k2のとき

nを7で割った余りは−2

n7=(7k2)7

=(7k)7+7C1(7k)6(2)++7C6(7k)1(2)67+(2)7128

=(7k)7+7C1(7k)6(2)++7C6(7k)1(2)67×1872

n7を7で割った余りは−2

⑥ n=7k+3のとき

これを7で割った余りは3

n7=(7k+3)7

=(7k)7+7C1(7k)63++7C6(7k)1367+372187

=(7k)7+7C1(7k)63++7C6(7k)136+7×3127+3

n7を7で割った余りは3

⑦ n=7k3のとき

nを7で割った余りは−3

n7=(7k3)7

=(7k)7+7C1(7k)6(3)++7C6(7k)1(3)67+(3)72187

=(7k)7+7C1(7k)6(3)++7C6(7k)1(3)67×31273

n7を7で割った余りは−3

①〜⑦より

全ての自然数nに対して、f(n7)=f(n)

長くなってしまいましたが、2項定理を使って地道にいくと以上のようになります。

他にもmodの計算を使って解く方法もあります。

解法2

解法2

nを7で割ったあまり」と「n7を7で割ったあまり」が等しいことを示すのは

n7n0(mod7)

を示せばよい。

n0のときn7n0(mod7)

n±1のときn7n0(mod7)

n±2のときn7n±1260(mod7)

n±3のときn7n±21840(mod7)

したがって

n7n0(mod7)

また因数分解を利用して解く方法もあります。

解法3

解法3

nを7で割ったあまり」と「n7を7で割ったあまり」が等しいことを示すのは

n7nを7で割ったあまりが0であることを示せばよい。

n7n=n(n61)

=n(n3+1)(n31)

=n(n+1)(n1)(n2+n+1)(n2n+1)

n,n+1,n1,n2+n+1,n2n+1

のいずれかが7の倍数になればよい

kを整数とするとき

n=7kのとき nは7の倍数

n=7k+1のとき n-1は7の倍数

n=7k-1のとき n+1は7の倍数

n=7k+2のとき n2+n+1は7の倍数

n=7k-2のとき n2n+1は7の倍数

n=7k+3のとき n2n+1は7の倍数

n=7k-3のとき n2+n+1は7の倍数

したがって、n7nを7で割ったあまりが0である

いずれの解法も、nを7で割った時のあまりで分類しています。

ちなみにこの問題はフェルマーの小定理のp=7のときです。

フェルマーの小定理

フェルマーの小定理

p:素数、a:自然数としたとき

apa(modp)

フェルマーの小定理 証明

以下pを法とする

m,nを自然数としたとき

(m+n)p

=mp+pC1mp1n+pC2mp2n2++pCp2m2np2+pCp1mnp1p+np

mp+np

であるので、

np=(1+n1)p

1p+(n1)p

=1p+(1+n2)p

1p+1p+(n2)p

1p+1p+1pn=n

「フェルマーの小定理」って言うと「いかつく」聞こえますが、意外と身近な問題で使われています。

(2)解法

続いて(2)です。

この問題が「伝説の問題」と言われる所以です。

自分で「好きな数」を決めてそれによって「得点」が決まるという形式になっています。

当然最大の点数をもらうために数字を決めたいと思います。

方針

方針

n=1〜6を代入して具体的に計算する

n=7以上は(1)より考える必要はない

解法

解法

g(n)=3f(7k=1kn)

=3f(1n+2n+3n+4n+5n+6n+7n)

n=1,2,3,4,5,6を代入する

n=1のとき

g(1)=3f(11+21+31+41+51+61+71)

=3f(1+2+3+4+5+6+7)

=3f(28)=3×0=0

n=2のとき

g(2)=3f(12+22+32+42+52+62+72)

=3f(1+4+9+16+25+36+49)

=3f(140)=3×0=0

n=3のとき

g(3)=3f(13+23+33+43+53+63+73)

=3f(1+8+27+64+125+216+343)

=3f(784)=3×0=0

n=4のとき

g(4)=3f(14+24+34+44+54+64+74)

=3f(1+16+81+256+625+1296+2401)

=3f(4676)=3×0=0

n=5のとき

g(5)=3f(15+25+35+45+55+65+75)

=3f(1+32+243+1024+3125+7776+16807)

=3f(29008)=3×0=0

n=6のとき

g(6)=3f(16+26+36+46+56+66+76)

=3f(1+64+729+4096+15625+46656+117649)

=3f(184820)=3×6=18

f(n)の最大は6であるので

n=6のとき最大となる

好きな数字を「6」と決めて

g(6)=18

この値「18」が得点となる

7を法としたそれぞれの値

7を法としたときのそれぞれの値を表にまとめると

k=1k=2k=3k=4k=5k=6k=7n=1k112345600n=2k214224100n=3k311666100n=4k412442100n=5k514523600n=6k611111106

6の倍数のときのみ得点が「18点」入り、それ以外は「0点」となると言う結論でした。

自分で点数を決められるようで、n=6に辿り着かなければ「0点」と言うなかなか厳しい問題ですね。

さすが京大。面白い問題ですね!

まとめ

・「あなたの好きな自然数nを一つ決めてg(n)を求めよ

そのg(n)の値をこの設問におけるあなたの得点とする」と言う自分で点数を決める問題

・(1)はn7nが7の倍数を示す

・(1)はフェルマーの小定理のp=7の場合

・(2)はnに数値を代入して、考えていけばいいよい

・(2)は好きな数字に「6の倍数」を選べば18点を獲得し、「それ以外」を選ぶと0点

以上「伝説の入試問題」と言われる1995年の京都大学の入試問題でした。

「あなたの好きな自然数nを一つ決めて、その値をこの設問におけるあなたの得点とする」と言う何ともロマンのある問題でした。

計算していくとn=1~5は「0点」、n=6で初めて「18点」がもらえるというなかなか厳しい問題設定でした。

面白いですね。

「伝説の入試問題シリーズ」他にも紹介していますので、ぜひご覧ください

以上です。今後も伝説の入試問題シリーズ続けていきたいと思いますのでよろしくお願いします。それではまた。

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