【整数】nを２以上の整数とする。$\mathbf{3^n-2^n}$が素数ならばnも素数であることを示せ(21京大　理系)【素数】

問　nを２以上の整数とする。

${3^n-2^n}$が素数ならばnも素数であることを示せ　(21京大　理系)

待遇を示す。

nが合成数としたとき

$n=a\times{b}$（a,bは２以上の整数）と表せる。

${3^n-2^n}$

$=3^{ab}-2^{ab}$

$=(3^{a})^b-(2^{a})^b$

因数分解して

$=(3^a-2^a)\{(3^{a})^{b-1}+(3^{a})^{b-2}b+\cdots+a(2^{a})^{b-2}+(2^{a})^{b-1}\}$

ここで$3^a-2^a$に関して2項定理を利用して、

$3^a-2^a=(2+1)^a-2^a\geq{}_{a}\mathrm{C}_{1}2^a+1>1$

よって$3^a-2^a$は２以上の整数

また$\{(3^{a})^{b-1}+(3^{a})^{b-2}b+\cdots+a(2^{a})^{b-2}+(2^{a})^{b-1}\}$も２以上の整数である。

したがって

$(3^a-2^a)\{(3^{a})^{b-1}+(3^{a})^{b-2}b+\cdots+a(2^{a})^{b-2}+(2^{a})^{b-1}\}$は

（２以上の整数）×（２以上の整数）となり合成数である。

1. 直接示すか、待遇を示すか、検討する
2. 素数の問題は、積の形を意識する
3. 因数分解できるか検討する