【整数】$\mathbf{m^3-n^3}$が150以下の素数となる正の整数m、n

問　$m^3-n^3$が１５０以下の素数となる正の整数m、nを求めよ。

$m^3-n^3=p$とする。（pは150以下の素数）

左辺を因数分解して、

$(m-n)(m^2+mn+n^2)=p$

pは素数なので、　$m-n$　か　$m^2+mn+n^2$　のいずれかかが１、もう片方がpである。

m、nは正の整数なので、$m^2+mn+n^2\geq3$　より　

$m-n=1$　　　$p=m^2+mn+n^2$　となる

$m=n+1$　を　$p=m^2+mn+n^2$　に代入して

$p=(n+1)^2+m(m+1)+n^2$

$p=3n^2+3n+1$

pは150以下より

$p=3n^2+3n+1\leq150$

$3n(n+1)\leq149$

$n(n+1)\leq\frac{149}{3}=49.\cdots$

これを満たす正の整数nは１、２、３、４、５、６

n=1のとき　$p=3\times1\times2+1=7$

n=2のとき　$p=3\times2\times3+1=19$

n=3のとき　$p=3\times3\times4+1=37$

n=4のとき　$p=3\times4\times5+1=61$

n=5のとき　$p=3\times5\times6+1=91$

n=6のとき　$p=3\times6\times7+1=127$

この中で、素数となるのは7、19、37、61、127

（※$91=7\times13$で素数ではありません）

よってpが素数となる整数nは１、２、３、４、６

したがって（m , n）＝（２,１）（３,２）（４,３）（５,４）（７,６）

1. 整数問題は因数分解して候補を絞り込む
2. 素数pは積の形で表すと１×pの形を取る
3. 不等式を利用し、候補を絞り込む
4. 具体的に数値を代入して吟味する