【整数問題】n^4=1+210m^2を満たす自然数解を１組求めよ。（2022・九州大）

自然数m、nが

$$n^4=1+210m^2　・・・①$$

を満たすとき、以下の問に答えよ。

（１）$\frac{n^2+1}{2}$ と $\frac{n^2-1}{2}$ は互いに素であることを示せ。

（２）$n^2-1$ は 168 の倍数であることを示せ。

（３）①を満たす自然数の組 $(m,n)$ を１つ求めよ。

（２０２２・九州大学・理系）

まずnが奇数であることを確認

$n=2k+1(k=0,1,2,3\cdots)$ とおける

$$\color{blue}{\frac{n^2+1}{2}}=\frac{(2k+1)^2+1}{2}=\frac{4k^2+4k+1}{2}=\color{blue}{2k^2+2k+1}$$

$$\color{blue}{\frac{n^2-1}{2}}=\frac{(2k+1)^2-1}{2}=\frac{4k^2+4k}{2}=\color{blue}{2k^2+2k}$$

連続する２整数なので

$$\color{blue}{2k^2+2k+1}=(\color{blue}{2k^2+2k})\cdot1+1$$

公約数は「１」のみであり

互いに素な整数である

（証明終）

①を変形して（１）の形に近づける

$$n^4-1=210m^2$$

$$(n^2+1)(n^2-1)=210m^2$$

$$(n^2+1)(n^2-1)=2\cdot3\cdot5\cdot7m^2$$

$\dfrac{n^2-1}{2}$が「３の倍数」、「７の倍数」を確認する

$\dfrac{n^2-1}{2}$が「4の倍数」を確認する

よって

$$\frac{n^2-1}{2}=3\cdot4\cdot7k　(k=0,1,2,3,\cdots)$$

$$n^2-1=168k$$

したがって、$n^2-1$ は168の倍数となる

（証明終）

（２）より　$n^2=168k+1$なので❶を変形して

$$168k(84k+1)=3\cdot5\cdot7m^2$$

ここで$\pmod5$を考えると

$$3k(-k+1)\equiv0\pmod5$$

$$k\equiv0,1\pmod5$$

つまりkの候補は、$k=1,5,6,10,11,15\cdots$などである。

小さい方から考えて、

よって $(m,k)=(116,10)$

このとき

$$n^2-1=1680$$

$$n^2=1681$$

$$n=41$$

したがって１つの整数解は $(m,n)=(116,41)$