判別式って何だっけ、、、？
と言う人のための記事です。
今回は「判別式」について、公式、意味などを分かりやすく解説していきたいと思います。
この記事を読むと
「判別式の公式」「判別式の公式（D/4）」「判別式の意味」「判別式と2次関数のグラフ」
などが理解できます。
それでは見ていきましょう
判別式
判別式とは
判別式とは
２次方程式の実数解の個数を調べる式
です。
判別式の公式
公式は以下の通り
2次方程式
$$ax^2+bx+c=0\quad(a≠0)$$
の判別式Dは
$$D=b^2-4ac$$
判別式は「D」を使って表します。
判別式と実数解の個数
この判別式の符号によって、２次方程式の実数解の個数が決まります。
2次方程式
$$ax^2+bx+c=0\quad(a≠0)$$
の実数解の個数は
\(D=b^2-4ac>0\) ・・・ 2個
\(D=b^2-4ac=0\) ・・・ 1個（重解）
\(D=b^2-4ac<0\) ・・・ 0個（2個の虚数解）
なぜ判別式の符号によって実数解の個数が決まるのかは解の公式を考えると簡単です。
判別式は解の公式のルートの中身です
2次方程式
$$ax^2+bx+c=0\quad(a≠0)$$
の解は
$$x=\frac{-b\pm\sqrt{\color{red}{b^2-4ac}}}{2a}=\frac{-b\pm\sqrt{\color{red}{D}}}{2a}$$
ルートの中身がプラスの時は、
$$\frac{-b\pm\sqrt{\color{red}{D(プラス)}}}{2a}$$
の異なる２つの実数解
ルートの中身が０の時は、
$$\frac{-b\pm\sqrt{\color{red}{0}}}{2a}=\frac{-b}{2a}$$
の１つの実数解（重解）
ルートの中身がマイナスの時は、
$$\frac{-b\pm\sqrt{\color{red}{D(マイナス)}}}{2a}\leftarrow(虚数)$$
実数解はない (\(\frac{-b\pm\sqrt{\color{red}{D}}}{2a}\)の２つの虚数解)
解の公式に関しては、以下の記事を参考にしてください
D/4の公式
２次方程式のxの係数が偶数のときはDを\(\frac{1}{4}\)倍したものを考えると計算が楽になります。
2次方程式
$$ax^2+2b’x+c=0\quad(a≠0)$$
の判別式\(\displaystyle{\frac{D}{4}}\)は
$$\frac{D}{4}=b’^2-ac$$
この公式はすぐに導出することができます。
$$ax^2+2b’x+c=0\quad(a≠0)$$
$$D=(2b’)^2-4ac$$
$$=4b’^2-4ac$$
$$=4(b’^2-ac)$$
よって
$$\frac{D}{4}=b’^2-ac$$
判別式は、「プラス」か「０」か「マイナス」か判断できれば良いので、DとD/4どちらを使っても結果は同じです
$$8x^2+18x+9=0$$
の実数解の個数を求める
$$D=18^2-4\cdot8\cdot9$$
$$=324-288=36$$
\(D>0\)より実数解は２個
$$\frac{D}{4}=9^2-8\cdot9$$
$$=81-72=9$$
\(\frac{D}{4}>0\)より実数解は2個
\(\frac{D}{4}\)の方が計算が楽ですね。
「判別式」と「2次関数とx軸との交点の個数」の対応
2次関数\(y=ax^2+bx+c\)のグラフは
２次方程式\(ax^2+bx+c=0\)の判別式Dと次のように対応する
x軸との交点が2個
x軸との交点が1個
x軸との交点が０個
これは、2次関数\(y=ax^2+bx+c\)のグラフとx軸との交点のx座標が、
２次方程式\(ax^2+bx+c=0\)の解と一致することから理解することができる。
まとめ
今回のまとめは以下の通りです。
・判別式 \(D=b^2-4ac\) は２次方程式の実数解の個数を判定することができる
D>0のとき、異なる２つの実数解
D=0のとき、１つの実数解（重解）
D<0のとき、実数解を持たない（２つの虚数解）
・判別式 \(\frac{D}{4}=b’^2-ac\) （xの係数が偶数のとき）は計算を楽にすることができる
・判別式で、「２次関数のグラフとx軸との交点の個数」を判定することができる
以上です。少しでも参考になれば幸いです。
それではまた。
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