【式の除法】$x^{10}-x+1$を$(x-1)^3$で割った余り

２項定理を利用した解法

整式$x^{10}-x+1$を$(x-1)^3$で割った余りを求めよ。

$x^{10}-x+1$

$=(x-1+1)^{10}-x+1$

２項定理を利用して展開すると

$(x-1)^{10}+{}_{10}\mathrm{C}_1(x-1)^9+{}_{10}\mathrm{C}_2(x-1)^8+$・・・

・・・$+{}_{10}\mathrm{C}_7(x-1)^3+{}_{10}\mathrm{C}_8(x-1)^2+{}_{10}\mathrm{C}_9(x-1)+1-x+1$

ここで$(x-1)^{10}$から$(x-1)^{3}$までの項は、$(x-1)^3$で割り切れるので

余りは ${}_{10}\mathrm{C}_8(x-1)^2+{}_{10}\mathrm{C}_9(x-1)+1-x+1$

これを整理すると　$45x^2-81x+37$

まとめ

入試でもよく出題される題材です。ぜひこの解法使いこなせるようにしましょう。