【式の除法】\(x^{10}-x+1\)を\((x-1)^3\)で割った余り

２項定理を利用した解法

整式\(x^{10}-x+1\)を\((x-1)^3\)で割った余りを求めよ。

\(x^{10}-x+1\)

\(=(x-1+1)^{10}-x+1\)

２項定理を利用して展開すると

\((x-1)^{10}+{}_{10}\mathrm{C}_1(x-1)^9+{}_{10}\mathrm{C}_2(x-1)^8+\)・・・

・・・\(+{}_{10}\mathrm{C}_7(x-1)^3+{}_{10}\mathrm{C}_8(x-1)^2+{}_{10}\mathrm{C}_9(x-1)+1-x+1\)

ここで\((x-1)^{10}\)から\((x-1)^{3}\)までの項は、\((x-1)^3\)で割り切れるので

余りは \({}_{10}\mathrm{C}_8(x-1)^2+{}_{10}\mathrm{C}_9(x-1)+1-x+1\)

これを整理すると　\(45x^2-81x+37\)

まとめ

入試でもよく出題される題材です。ぜひこの解法使いこなせるようにしましょう。