さあ今回は、図で見てわかる「加法定理の証明」です。
以前、東京大学の過去問を通じで、「加法定理の証明」を紹介しました。
今回は、直角三角形を利用して証明するため、一般角での証明ではありませんが、図で理解することができる面白い証明方法です。
それでは、見ていきましょう。
加法定理（公式）
まず、公式を確認しましょう。
$$sin(\alpha+\beta)=sin\alpha cos\beta+cos\alpha sin\beta$$
$$cos(\alpha+\beta)=cos\alpha cos\beta-sin\alpha sin\beta$$
今回は、この２つの公式の証明方法を紹介します。
加法定理の証明（直角三角形を利用）
図の直角三角形を考えます。
まず図の直角三角形に注目して
縦が\(sin(\alpha+\beta)\)
横が\(cos(\alpha+\beta)\)となる
次に、図の直角三角形に注目して
ななめが、\(sin\beta\)と\(cos\beta\)になる。
右上の小さい直角三角形に注目して、
横が、\(sin\alpha sin\beta\)
縦が、\(cos\alpha sin\beta\)
となる。
次に、右下の直角三角形に注目して
縦が、\(sin\alpha cos\beta\)
横が、\(cos\alpha cos\beta\)
となる。
以上をまとめて、縦に注目すると、
$$sin(\alpha+\beta)=sin\alpha cos\beta+cos\alpha sin\beta$$
横に注目すると、
$$cos(\alpha+\beta)=cos\alpha cos\beta-sin\alpha sin\beta$$
直角三角形を重ね合わせることで、証明することができました。
まとめ
- 三角関数の大切な定理である「加法定理」を直角三角形を使って証明
- 三角関数の基本が分かっていれば、視覚的に理解できる
厳密な証明は置いといて、とりあえず納得感を得るためには、とてもわかりやすい証明ではないでしょうか。
少しでも参考になればと思います。以上です！
コメント